Радиус круга с центром $O$ равномерно вращается, поворачиваясь за одну секунду на угол $\dfrac{360^\circ}n$ (где $n$ — натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение $OM_0$, через секунду — положение $OM_1$, ещё через 2 секунды — положение $OM_2$, ещё через 3 секунды после этого — положение $OM_3$ и т. д., ещё через $n-1$ секунд — положение $OM_{n-1}$.
Докажите, что если $n$ — степень 2, то радиусы $OM_1$, $\ldots$, $OM_{n-1}$ делят круг на $n$ равных секторов;
Докажем, что радиусы $OM_0$, $OM_1$, $\ldots$, $OM_{n-1}$ делят круг на $n$ равных секторов в том и только в том случае, когда $n=2^k$ ($k$ — натуральное число; на рисунках изображены случаи $k=2$ и $k=3$).
Поскольку все точки $M_0$, $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_{n-1}$ попадают в вершины правильного $n$-угольника с центром $O$, для того чтобы $n$ радиусов $OM_0$, $OM_1$, $\ldots$, $OM_{n-1}$ делили круг на равные секторы, необходимо и достаточно, чтобы никакие два из этих радиусов $OM_i$ и $OM_j$ не совпали, т. е. суммарный угол $\phi_{ij}$ от $OM_i$ до $OM_j$ (отсчитываемый при вращении радиуса) не был кратен $360^\circ=\alpha n$, где $\alpha=\dfrac{360^\circ}n$.
Угол от $OM_0$ до $OM_j$ равен $\alpha(1+2+\ldots+j)=\dfrac{\alpha j(j+1)}2$, поэтому угол $\phi_{ij}$ от $OM_i$ до $OM_j$, где $0\le i\lt j\le n-1$, равен
$$
\phi_{ij}=\alpha\dfrac{j(j-1)}2-\alpha\dfrac{i(i-1)}2=\alpha\dfrac{(j-i)(j+i+1)}2,
$$
т. е. радиусы $OM_i$ и $OM_j$ совпадают, если и только если $\dfrac{\phi_{ij}}{n\alpha}=\dfrac{(j-i)(j+i+1)}{2n}$ — целое число.
Докажем отдельно а) достаточность и б) необходимость условия $n=2^k$ для того, чтобы $(j-i)(j+i+1)$ не делилось на $2n$ ни при каких $0\le i\lt j\le n-1$.
а) Если $n=2^k$, то, поскольку $j-i$ и $j+i+1$ — числа разной чётности, $j-i\lt n=2^k$ и $j+i+1\lt2^{k+1}$, произведение $(j-i)(j+i+1)$ не делится на $2^{k+1}=2n$.
б) Пусть $n$ — не степень двойки: $n=2^{m-1}(2q+1)$, где $m$ и $q$ — натуральные числа. Предъявим $i$ и $j$, при которых $(j-i)(j+i+1)$ делится на $2n=2^m(2q+1)$. Если $2^{m-1}\gt q$, полагаем
$$
\left\{
\begin{array}{l}
i+j+1=2^m,\\
j-i=2q+1,
\end{array}
\right.
\quad\text{т. е.}\quad
\left\{
\begin{array}{l}
j=2^{m-1}+q\lt n,\\
i=2^{m-1}-q-1\ge0.
\end{array}
\right.
$$
Если $2^{m-1}\le q$, полагаем
$$
\left\{
\begin{array}{l}
i+j+1=2q+1,\\
j-i=2^m,
\end{array}
\right.
\quad\text{т. е.}\quad
\left\{
\begin{array}{l}
j=q+2^{m-1}\lt n,\\
i=q-2^{m-1}\ge0.
\end{array}
\right.
$$
