В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Известно, что длины отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ равны. Докажите, что треугольник $ABC$ — правильный.
Рассмотрим треугольники $AA_1B_1$ и $BB_1A_1$ (рис. 1).
Они имеют общую сторону $A_1B_1$ и равные по условию стороны $AA_1$ и $BB_1$. Кроме того, равны их углы $ABA_1$ и $BA_1B_1$, поскольку смежные с ними углы — это углы при основании равнобедренного треугольника $A_1BC$ (отрезки $CA_1$ и $CB_1$ равны, как касательные, проведённые к окружности из одной точки); по той же причине углы $AB A_1$ и $BA_1B_1$ тупые, следовательно, остальные углы рассматриваемых треугольников острые. По теореме синусов
$$
\begin{gather*}
\sin\angle A_1AB_1
=\dfrac{A_1B_1}{A_1A}\sin\angle AB_1A_1=\qquad\\
\qquad=\dfrac{A_1B_1}{B_1B}\sin\angle BA_1B_1
=\sin\angle B_1BA_1,
\end{gather*}
$$
поэтому $\angle A_1AB_1=\angle B_1BA_1$ (эти углы острые), значит, и $\angle AA_1B_1=\angle BB_1A_1$. Таким образом, треугольники $AA_1B_1$ и $BB_1A_1$ равны (по двум сторонам и углу между ними). В частности, $AB=BA_1$ и $AC=AB_1+B_1C=BA_1+A_1C=BC$. Аналогично доказывается, что $AC=AB$.
Отметим, что, вообще говоря, признак равенства треугольников «по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них» не верен (см. рис. 2).
