Касательные к описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, проведённые в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$
пересекает сторону $AB$ в точке $K$, делящей её в отношении $AC^2:BC^2$;
симметрична медиане, проведённой из $C$, относительно биссектрисы угла $C$ треугольника.
а) Воспользуемся тем, что для всех точек прямой, проходящей через вершину угла, отношение расстояний до его сторон (точнее, до прямых, содержащих стороны) будет одним и тем же. В частности, равны отношения $\dfrac{KA_1}{KB_1}$ и $\dfrac{PA_2}{PB_2}$ расстояний от точек $K$ и $P$ до сторон $CA$ и $CB$ угла $ACB$ (см. рисунок: на нём угол $C$ острый, для тупого угла $C$ рассуждение аналогично). Первое из этих отношений, очевидно, равно $\dfrac{AK\sin\angle A}{BK\sin\angle B}$ ($\angle A$ и $\angle B$ — углы треугольника $ABC$). Чтобы найти второе, заметим, что $\angle PAA_2$ является вертикальным к углу между хордой $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$ и касательной к ней в точке $A$, т. е. равен по величине половине дуги $AC$ и, следовательно, $\angle PAA_2=\angle B$; аналогично, $\angle PBB_2=\angle A$. Таким образом,
$$
\dfrac{PA_2}{PB_2}=\dfrac{PA\sin\angle PAA_2}{PB\sin\angle PBB_2}=
\dfrac{\sin\angle B}{\sin\angle A}\tag{*}
$$
($PA=PB$ по свойству касательных к окружности, проведённых из одной точки). Приравнивая полученные выражения
$$
\dfrac{AK\sin\angle A}{BK\sin\angle B}=\dfrac{\sin\angle B}{\sin\angle A}
$$
и пользуясь теоремой синусов $\dfrac{\sin\angle B}{\sin\angle A}=\dfrac{AC}{BC}$, получим нужное соотношение:
$$
\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{AC^2}{BC^2}.
$$
б) Рассмотрим прямую $l$, симметричную $CP$ относительно биссектрисы угла $ACB$ (см. рисунок). Ясно, что для всех её точек отношение расстояний до прямых $CA$ и $CB$ обратно такому же отношению для $CP$, т. е. равно $\dfrac{\sin\angle A}{\sin\angle B}$ (см. (*)). Для точки $M$, в которой прямая $l$ пересекает сторону $AB$, это отношение, очевидно, равно $\dfrac{AM\sin\angle A}{BM\sin\angle B}$. Следовательно, $AM=BM$, т. е. $CM$ — медиана треугольника $ABC$.
