Задача М906‍‍

а) Решениями данного уравнения при любом натуральном $a\gt1$‍‍ являются пары натуральных чисел $(2a,2a)$‍,‍ $(a+1,a(a+1))$‍‍ и $(a(a+1),a+1)$‍.‍

б) Ответ: при $a=1985$‍‍ данное уравнение имеет 9 решений. Покажем, что уравнение $$ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac1a $$ имеет столько решений, сколько делителей у числа $a^2$‍.‍ (При $a=1985=5\cdot397$‍‍ число делителей $a^2$‍‍ равно 9, так как любой из них можно представить в виде $5^n\cdot397^k$‍,‍ где $n$‍‍ и $k$‍‍ независимо принимают любое из трёх значений 0, 1, 2.)

Для доказательства достаточно переписать наше уравнение в виде $ay+ax=xy$‍‍ или $$ a^2=(x-a)(y-a), $$ и заметить, что количество разложений числа $a^2$‍‍ на два сомножителя равно числу его делителей.