Биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что если $OK=OM$, то либо углы $A$ и $B$ треугольника равны, либо угол $C$ равен $60^\circ$.
Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на стороны $AC$ и $BC$. Поскольку $O$ — точка пересечения биссектрис, эти перпендикуляры имеют равные длины, следовательно, прямоугольные треугольники $OMP$ и $OKQ$ равны. Выразим их острые углы при вершинах $M$ и $K$ через углы треугольника $ABC$. Если точка $P$ лежит на отрезке $CM$ (рис. 1), то угол $M$ треугольника $OMP$, как внешний угол треугольника $AMB$, равен $\angle A+\dfrac12\angle B$; если точка $P$ лежит нa отрезке $AM$ (рис. 2), то этот угол равен углу $AMB$, т. е. $180^\circ-\angle A-\dfrac12\angle B=\dfrac12\angle B+\angle C$. Аналогичные две возможности имеются и для точки $Q$.
Рис. 1Рис. 2
Таким образом, исходный треугольник удовлетворяет одному из двух равенств: либо $\angle AMB=\angle AKB$, т. e. $\dfrac12\angle B+\angle C=\dfrac12\angle A+\angle C$ или $\angle A=\angle B$; либо $\angle AMB+\angle AKB=180^\circ$, т. е. $\angle A+\dfrac12\angle B+\dfrac12\angle A+\angle B=\dfrac32(\angle A+\angle B)=180^\circ$ или $\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=60^\circ$.
