a) Установим сначала, что $k\gt m$. Используя данные соотношения, получим:
$$
2^k-2^m=a+d-(b+c)=a-b+d-\dfrac{ad}{b}=\dfrac{d}{b}(b-a)-(b-a)=(b-a)\left(\dfrac{d}{b}-1\right)\gt0
$$
(поскольку $b\gt a$, $d\gt b$), следовательно, $k\gt m$.
Докажем теперь, что $a+b=2^{m-1}$. Равенство $ad=bc$ можно переписать в виде $a(2^k-a)=b(2^m-b)$, т. е. $b^2-a^2=2^mb-2^ka=2^m(b-2^{k-m}a)$. Таким образом, произведение чисел $b+a$ и $b-a$ делится на $2^m$ (мы видели, что $2^{k-m}$ — целое число). В то же время их сумма равна $2b$, а $b$ — нечётное число, поэтому оба эти числа не могут одновременно делиться на 4. А так как эти числа чётные, одно из них должно делиться на $2^{m-1}$ (а другое — только нa $2^1$). Но $b-a\lt b\lt\dfrac{(b+c)}{2}=2^{m-1}$, поэтому нa $2^{m-1}$ делится $a+b$. Учитывая неравенство $a+b\lt b+c=2^m$ заключаем, что $a+b=2^{m-1}$.
Таким образом, $b=2^{m-1}-a$, следовательно, $c=2^m-b=2^{m-1}+a$, а $ad=bc=2^{2m-2}-a^2$, т. е. $a(a+d)=2^{2m-2}$. Поскольку $a$ — нечётное число, последнее равенство возможно только при $a=1$.
б) Из полученных в конце пункта а) соотношений следует, что числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $k$ удовлетворяют условию задачи тогда и только тогда, когда $a=1$, $b=2^{m-1}-1$, $c=2^{m-1}+1$, $d=2^{2m-2}-1$, $k=2m-2$ при $m\ge3$.
