Задача М897‍‍

Ответ: одна из искомых пар — $x=1$‍,‍ $y=18$‍.‍

Преобразуем данное выражение: $$\begin{gather*} (x+y)^7-x^7-y^7=\\ =7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6=\\ =7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5)=\\ =7xy(x+y)(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4)=\\ =7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2. \end{gather*}$$ Для того чтобы это выражение делилось на $7^7$‍,‍ необходимо, чтобы $x^2+xy+y^2$‍‍ делилось на $7^3$‍‍ (по условию $xy(x+y)$‍‍ не делится на 7). Положим $x=1$‍‍ и попробуем найти такое $y$‍,‍ чтобы $1+y+y^2=7^3=343$‍.‍ Это квадратное уравнение имеет корни $y_1=18$‍‍ и $y_2=-19$‍,‍ таким образом, одно из решений задачи — (1; 18).

Можно показать, что все пары целых чисел $(x, y)$‍,‍ для которых $x^2+xy+y^2$‍‍ делится на $7^3$‍‍ (т. е. решения нашей задачи), описываются формулами: $(343n+k, 343m+18k)$‍,‍ $(343n+18k, 343m+k)$‍,‍ $(343n-19k, 343m+k)$‍,‍ $(343n+k, 343m-19k)$‍,‍ где $n$‍,‍ $k$‍,‍ $m$‍‍ — произвольные целые числа.