Задача М892‍‍‍

а) Заметим сначала, что если число $a^m+a^k$‍‍ является квадратом, то квадратов такого вида бесконечно много: $a^{m+2n}+a^{k+2n}=(a^n)^2\cdot(a^m+a^k)$‍‍ (здесь $m$‍‍ или $k$‍‍ может равняться и нулю). Поэтому утверждение задачи для $a=2$‍‍ и $a=3$‍‍ вытекает из равенств $2^3+2^0=8+1=3^2$‍,‍ $3^1+3^0=2^2$‍.‍

Случай $a=4$‍.‍ Пусть $4^m+4^k=b^2$‍,‍ где $b$‍‍ — целое число, причем $m\gt k$‍;‍ тогда $4^{m-k}+1=\left(\dfrac b{2^{k}}\right)^2$‍‍ или $4^n+1=c^2$‍‍ $\Big(n=m-k$‍,‍ $c=\dfrac b{2^k}\Big)$‍.‍ Отсюда следует, что $(c+2^n)(c-2^n)=1$‍,‍ что, очевидно, невозможно.

Случай $a=5$‍.‍ Легко видеть, что число $5^m$‍‍ при любом $m\gt1$‍‍ кончается цифрами 25, поэтому $5^m+5^k$‍‍ может кончаться только на 30 (при $k=1$‍)‍ или на $50$‍‍ (при $k\gt1$‍)‍ и, следовательно, не может быть квадратом (квадрат, кончающийся нулём, должен делиться на 100).

б) Ответ: нет. Поскольку 7 при делении на 3 даёт в остатке 1, такой же остаток дают и все степени семи. Поэтому число $7^n+7^m$‍‍ даёт при делении на 3 остаток $2$‍‍ и, следовательно, не может быть квадратом ($(3n)^2$‍‍ делится на 3, а $(3n\pm1)^2=3(3n^2\pm2n)+1$‍).‍