Ответ: такие точки существуют.
Пусть $A$ и $B$ — две точки плоскости, расстояние между которыми равно $\!\sqrt[\scriptstyle4~]2$, $C$ — середина отрезка $AB$, $P$ — произвольная точка плоскости. Тогда $2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, т. е.
$$
\begin{gather*}
4PC^2=PA^2+PB^2+2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB},\\
AB^2=PA^2+PB^2-2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}.
\end{gather*}
$$
Складывая эти равенства, получим
$$
4PC^2+AB^2=2PA^2+2PB^2,
$$
и, поскольку число $AB^2=\sqrt2$ иррационально, числа $PA$, $PB$ и $PC$ одновременно не могут быть рациональными.
