Докажем, что если $ab=cd$, то $a=uv$, $b=wt$, $c=uw$, $d=vt$, где $u$, $v$, $w$, $t$ — некоторые натуральные числа.
Поскольку $ab$ делится на $c$, число $c$ можно записать в виде $c=vw$, где $u$ — делитель $a$, а $w$ — делитель $b$ (например, можно взять в качестве $u$ наибольший общий делитель $a$ и $c$). Тогда $a=uv$, $b=wt$ и потому $d=vt$. Остальное просто:
$$\begin{gather*}
a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}=\\
=(uv)^{1984}+(wt)^{1984}+(uw)^{1984}+(vt)^{1984}=\\
=(u^{1984}+t^{1984})(v^{1984}+w^{1984}),
\end{gather*}$$
а число в правой части, очевидно, составное.
