Задача М887‍‍

Пусть прямая $AM$‍‍ пересекается со второй окружностью в точке $D$‍‍ (см. рисунок). Очевидно, достаточно доказать, что четырёхугольник $ABCD$‍‍ — параллелограмм.

Пользуясь тем, что величина угла с вершиной на окружности, образованного двумя хордами или хордой и касательной, равна половине величины дуги, заключенной внутри угла, можно записать две цепочки равенств: $$\begin{gather*} \angle ADB=\dfrac12{\smile}{BsM}=\angle ABM=\dfrac12{\smile}{AM}=\angle CAD,\\ \angle ADC=\dfrac12{\smile}{MC}=\angle MBC=\dfrac12{\smile}{BfM}=\angle BAM \end{gather*} $$ (${\smile}{BfM}$‍‍ и ${\smile}{BsM}$‍‍ — это величины дуг $BM$‍‍ для первой и второй окружностей). Равенство углов $ADB$‍‍ и $CAD$‍‍ означает, что параллельны прямые $AC$‍‍ и $BD$‍,‍ равенство углов $ADC$‍‍ и $BAM$‍‍ — что параллельны прямые $AB$‍‍ и $CD$‍;‍ это и требовалось доказать.