Ответ: а) можно (рис. 1); $s$ может равняться $\pm41$, $\pm12$; б) нельзя; в) можно (рис. 2); $s=\pm8$, $\pm24$; г) можно; $s=\pm3968$, $\pm11904$.
Задача сводится к тому, чтобы разбить некоторый набор из $4n-4$ последовательных целых чисел на $n-2$ четвёрок и ещё 2 пары чисел так, чтобы суммы чисел во всех четвёрках и парах были одинаковы и равны $s$. Обозначим через $c$ сумму двух крайних из $4n-4$ таких чисел — наименьшего $m$ и наибольшего $M$. (Для дальнейшего заметим, что $M=m+4n-5$, т. е. $c=2m+4n-5$ и $m=\dfrac{c+5}2-2n$, $M=\dfrac{c-5}2+4n-2$.) Разумеется, $c$ всегда нечётно. Сумма всех $4n-4$ чисел равна $(2n-2)c$, поэтому, если требуемое разбиение возможно, должно выполняться равенство
$$
ns=2(n-1)c.\tag1
$$
Это необходимое условие позволяет сразу исключить случай, когда $n$ делится на $4$, в частности, $n=4$ (пункт б) задачи): при таких $n$ разбиения не существует, поскольку правая часть (1) не делится на $4$, а левая — делится.
Для нечётного $n$, к которому относится всё дальнейшее, условие (1) также даёт сильные ограничения: поскольку $n$ и $n-1$ взаимно просты, а $n$ и $c$ нечётны, $c$ делится на $n$, так что при некотором нечётном $r$ должны выполняться равенства
$$
c=nr,\quad s=2(n-1)r.\tag2
$$
На рисунке 3 показано, как можно построить нужные разбиения для $r=1$ и $r=3$. Две пары чисел — «красная» и «жёлтая» — имеют одинаковые суммы $s$ (т. е. общий центр симметрии в точке $\dfrac s2\Big)$, а остальные $4n-8$ чисел образуют четыре «голубые» последовательности по $n-2$ чисел (идущих подряд), две из которых мы считаем восходящими, а две другие — нисходящими. Тогда сумма первых чисел этих последовательностей равна сумме вторых, сумме третьих и т. д., так что мы получаем $n-2$ четвёрок с одинаковыми суммами; если при этом выполнено соотношение (1) между $s$ и $c$, то все эти суммы также равны $s$. Показанные на рисунке 3, а и б примеры соответствуют $r=3$ и $r=1$ в формулах (2), для любого нечётного $n$. (На рисунках 1 и 2 приведены соответствующие заполнения границы квадратов для $n=3$ и $n=5$). Заменой знаков у всех $4n-4$ чисел (что приведёт к изменению знаков у $s$ и $c$) получим примеры для $r=-3$ и $r=-1$.
Итак, мы указали расстановки чисел со значениями $s$ а) $\pm4$, $\pm12$ для $n=3$; в) $\pm8$, $\pm24$ для $n=5$; г) $\pm3968$, $\pm11904$ для $n=1985$ (и вообще, $\pm2(n-1)$, $\pm6(n-1)$ для нечётного $n$). Докажем, что этими значениями исчерпывается ответ к задачам а), в) и г). Сумма $2s$ двух пар красных и жёлтых чисел вместе не меньше чем сумма $4m+6$ четырёх наименьших $m$, $m+1$, $m+2$, $m+3$ и не больше чем сумма $4M-6$ четырёх наибольших $M$, $M-1$, $M-2$, $M-3$ из целых чисел от $m$ до $M$. Выражая $m$ и $M$ через $c$ и $n$ и пользуясь формулами (2), получим
$$
\begin{gather*}
2(c+8-4n)=4m+6\le2s\le4M-6=2(c-8+4n),\\
nr-4n+8\le2r(n-1)\le nr+4n-8,
\end{gather*}
$$
откуда
$$
-4(n-2)\le(n-2)r\le4(n-2),
$$
т. е. $|r|\le4$. Осталось вспомнить, что $r$ нечётно.
Если кому-либо из читателей удастся разобраться в этой задаче также для $n=6$ и, вообще, для $n=4k+2$, мы будем рады познакомиться с решением и сообщить о нём в журнале.
