Пусть $SA_1\ldots A_n$ — данная пирамида. Разрежем её боковую поверхность по ребру $SA_1$ и развернём её на плоскость (см. рисунок, на котором $SA_1$ и $SA'_1$ — это два экземпляра ребра $SA_1$, образовавшиеся в результате разрезания, так что $|SA_1|=|SA'_1|$). Из условия задачи следует, что точка $S$ лежит внутри многоугольника $A_1\ldots A_nA'_1$. Продолжая отрезок $A'S$ за точку $S$ до пересечения с ломаной $A_1\ldots A_nA'_1$, мы получим точку $B$, разбивающую ломаную на две части: ломаную $A_1\ldots B$ длины $a$ и ломаную $A'_1\ldots B$ длины $b$. Из неравенств $|SA_1|\lt a+|SB|$, $|A'_1S|+|SB|=|A'_1B|\lt b$ следует, что $$
\begin{gather*}
2|SA_1|=|SA_1|+|SA'_1|\lt a+|SB|+|A_1'S|\lt a+b=\\
=|A_1A_2|+\ldots+|A_{n-1}A_n|+|A_nA'_1|.
\end{gather*}
$$
Остаётся заметить, что в правой части стоит периметр основания пирамиды.
