Задача М873 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1984, № 7) Задача М873 // Квант. — 1984. — № 7. — Стр. 50; 1984. — № 10. — Стр. 45.

Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x^2+10x+20$‍.‍ Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при $x$‍‍ или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен $x^2+20x+10$‍.‍ Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

А. А. Берзиньш

Всесоюзная математическая олимпиада школьников (1984 год)

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1984, № 10) Задача М873 // Квант. — 1984. — № 7. — Стр. 50; 1984. — № 10. — Стр. 45.

Ответ: верно.

Заметим, что при каждом изменении трёхчлена его значение в точке $x=-1$‍‍ изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого трёхчлена $f(x)=x^2+10x+20$‍‍ в этой точке равно $f(-1)=11$‍,‍ а последнего, $g(x)=x^2+20x+10$‍,‍ — $g(-1)=-9$‍.‍ Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трёхчлен $h(x)=x^2+px+q$‍,‍ для которого $h(-1)=0$‍.‍ Оба его корня — целые (один равен $-1$‍,‍ другой, по теореме Виета, равен $-q$‍).‍

А. А. Берзиньш

Открыть в номере

Метаданные Задача М873 // Квант. — 1984. — № 7. — Стр. 50; 1984. — № 10. — Стр. 45.

Предмет

Математика

Условие

Берзиньш А. А.

Решение

Берзиньш А. А.

Номера

1984. — № 7. — Стр. 50 [условие]

1984. — № 10. — Стр. 45 [решение]

Описание

Задача М873 // Квант. — 1984. — № 7. — Стр. 50; 1984. — № 10. — Стр. 45.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m873/