Задача М870‍‍

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живёт некоторое конечное число пианистов. (В одной комнате может жить и несколько пианистов.) Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах — $k$‍‍-й и $(k+1)$‍‍-й — приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в $(k-1)$‍‍-ю и $(k+2)$‍‍-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся.