Задача М869‍‍‍

Если пара чисел $m$‍,‍ $m+1$‍‍ обладает нужным свойством (каждое из чисел не содержит простых множителей в первой степени), то и пара чисел $4m(m+1)$‍,‍ $4m(m+1)+1$‍‍ тоже им обладает: первое число, равное $2^{2}m(m+1)$‍,‍ по предположению, а второе, — равное $4m^{2}+4m+1=(2m+1)^{2}$‍,‍ — потому, что оно является квадратом. Применяя эту операцию к паре чисел $(8, 9)$‍,‍ мы получаем как раз пару $4\cdot 8\cdot 9=288$‍,‍ $289=17^{2}$‍,‍ указанную в условии. Из этой пары, в свою очередь, можно получить ещё одну пару $4\cdot 288\cdot 289=331828$‍,‍ $331829=577^{2}$‍.‍ (Впрочем, читатели указали в ответе к задаче а) и меньшие числа: $675=3^{3}\cdot 5^{2}$‍,‍ $676=2^{2}\cdot 13^{2}$‍;‍ $12167=23^{3}$‍,‍ $12168=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2}$‍‍ и др.)

Продолжая таким же образом, с помощью операции $$ (m;\; m+1) \rightarrow \big(4m(m+1);\ 4m(m+1)+1\big), $$ при которой оба числа пары, очевидно, возрастают, мы можем построить сколько угодно нужных пар чисел.