Внутри данного правильного треугольника укажите множество всех точек $M$ таких, что расстояния от $M$ до его сторон сами служат длинами сторон некоторого треугольника.
Внутри данного правильного тетраэдра укажите множество всех точек $M$ таких, что расстояние от $M$ до граней тетраэдра служат длинами сторон некоторого четырёхугольника.
а) Ответ: искомое множество — это внутренность треугольника, ограниченного средними линиями данного треугольника (рис. 1).
Пусть $d_a=d_1$, $d_b$, $d_c$ — расстояния от точки $M$ до сторон $BC$, $CA$, $AB$ данного правильного треугольника $ABC$. Для существования треугольника со сторонами длин $d_a$, $d_b$ и $d_c$ необходимо и достаточно выполнения трёх неравенств: $d_a\lt d_b+d_c$, $d_b\lt d_a+d_c$ и $d_c \lt d_a+d_b$, или $d_a\lt\dfrac d2$, $d_b\lt\dfrac d2$, $d_c\lt\dfrac d2$, где $d=d_a+d_b+d_c$, но $d$ — это длина высоты треугольника $ABC$ (если $l$ — длина стороны треугольника, то $\dfrac{ld}2=\dfrac{ld_a+ld_b+ld_c}2=S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}=S_{ABC}$).
Поэтому условие $d_a\lt\dfrac d2$ определяет в треугольнике $ABC$ трапецию $BCB_1C_1$, отсекаемую от него средней линией $B_1C_1$ (сам отрезок $B_1C_1$ при этом исключается). Аналогичные трапеции задаются и двумя другими неравенствами, а пересечение этих трёх трапеций и есть внутренность треугольника $A_1B_1C_1$.
Рис. 1Рис. 2
б) Ответ: искомое множество — это внутренность правильного октаэдра с вершинами в серединах рёбер данного тетраэдра (рис. 2).
Повторяя ход решения задачи а), разобьём данный тетраэдр $T$ на четыре тетраэдра, основаниями которых служат грани данного, а вершины расположены в точке $M$. Пусть $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ — их высоты, т. е. расстояния от точки $M$ до граней тетраэдра $T$, тогда сумма их объёмов равна $\dfrac{d_1S+d_2S+d_3S+d_4S}3$ (где $S$ — площадь грани данного тетраэдра), следовательно, $d=d_1+d_2+d_3+d_4$ — это высота тетраэдра $T$. Для того чтобы из отрезков длин $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ можно было составить четырёхугольник, каждая из этих длин должна быть меньше $\dfrac d2$ (скажем, неравенство $d_1\lt\dfrac d2$ эквивалентно $d_1\lt d_2+d_3+d_4$). Очевидно, каждое из неравенств «отсекает» от тетраэдра вдвое меньший тетраэдр (тетраэдры с красными рёбрами на рисунке 2). После четырёх «отсечений» останется правильный октаэдр.
Обратно, для любой точки внутри этого октаэдра будут выполнены неравенства $d_i\lt\dfrac d2$, поэтому из отрезков длин $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ можно составить четырёхугольник. (Действительно, пусть $d_1\gt d_2\gt d_3\gt d_4$; интервалы $(d_1-d_2,d_1+d_2)$ и $(d_3-d_4,d_3+d_4)$ содержат общую точку $l$, так как $d_1-d_2\lt d_3+d_4\lt d_1+d_2$; теперь нужный четырёхугольник можно получить, приставляя друг к другу треугольники со сторонами $d_1$, $d_2$, $l$ и $d_3$, $d_4$, $l$.)
