Для каких $n$ из $n$ уголков, состоящих из четырёх клеток $1\times1$, и некоторого числа прямоугольников $4\times1$ (рис. 1) можно составить центрально-симметричную фигуру (многоугольник на клетчатой бумаге)?
На рисунке 2 показано, как из любого чётного числа $n$ уголков составить центрально-симметричную фигуру (прямоугольник $4\times n$). Покажем, что и обратно, любая центрально-симметричная фигура $\mathit\Phi$ из условия может содержать лишь чётное число уголков. Приведём два доказательства.
Рис. 2
Первое основано на традиционных «олимпиадных» идеях — раскраски и чётности. Центр симметрии $O$ фигуры $\mathit\Phi$ — это один из центров симметрии соответствующей квадратной сетки, т. е. либо её узел, либо середина отрезка между двумя соседними узлами, либо центр клетки. Последний случай можно сразу отбросить, так как в этом случае число клеток в фигуре было бы нечётно, но оно должно делиться на 4. Покрасим плоскость «в синюю полоску», как показано на рисунке 3. Тогда число синих клеток в фигуре $\mathit\Phi$ будет чётно. (В зависимости от расположения центра $O$ либо каждой синей клетке симметрична белая — как для центров $O_1$ и $O_2$ на рисунке 3, а, и тогда число синих клеток в $\mathit\Phi$ равно половине общего числа клеток, кратного четырём; либо каждой синей клетке симметрична другая синяя — как для точки $O_3$ на рисунке 3, а.) Но в любом прямоугольнике $4\times1$ на сетке число синих клеток чётно (рис. 3, а), а в любом уголке — нечётно (рис. 3, б). Поэтому число уголков должно быть чётно.
Рис. 3
Второе доказательство опирается на то, что центр симметрии $O$ фигуры $\mathit\Phi$ является и её центром масс (если рассматривать её как однородную пластину; можно также заменить $\mathit\Phi$ на конечную систему равных масс, сосредоточенных в центрах составляющих эту фигуру клеток). Как мы видели выше, через точку $O$ проходит хотя бы одна из линий сетки; примем её за ось ординат, а за ось абсцисс — любую перпендикулярную линию сетки. Единицей длины будет служить сторона клетки. В этих осях координаты точки $O$, а также центра масс любого прямоугольника $4\times1$ будут целыми или полуцелыми, т. е. числами вида $\dfrac a2$, где $a$ — целое. Центр масс уголка лежит в середине отрезка, соединяющего центры двух прямоугольников $2\times1$, из которых он составлен (рис. 4), поэтому его координаты имеют вид $b\pm\dfrac14$ ($b$ — целое или полуцелое число). Воспользуемся теперь тем, что если заменить каждую из фигурок — прямоугольников и уголков, составляющих $\mathit\Phi$, на её центр масс и поместить в эти центры равные массы, то центр полученной новой системы также попадает в точку $O$. Это означает, что координаты точки $O$ равны средним арифметическим соответствующим координатам центров масс всех фигурок, составляющих $\mathit\Phi$. Следовательно, сумма абсцисс этих центров, т. е. сумма нескольких чисел вида $\dfrac a2$ и $n$ чисел вида $b\pm\dfrac 14$, должна быть равной нулю. Но это, очевидно, возможно только при чётном $n$.
Рис. 4
Чтобы второе доказательство стало вполне строгим, надо ещё дать точное математическое определение центра масс и доказать использованные нами его свойства, например, законность замены какой-то группы масс на её центр. Об этом подробно рассказывается в статье М. Б. Балка и В. Г. Болтянского в этом номере журнала.
