Пусть $Q$ — точка пересечения плоскостей $ABC_1$, $BCA_1$ и $CAB_1$, $O$ — её проекция на плоскость $ABC$, $P$ — проекция $O$ на одну из сторон треугольника, для определённости — на прямую $BC$. Очевидно, что треугольник $QOP$ подобен треугольнику $A_1AH$, где $AH$ — высота треугольника $ABC$ (см. рис. 1). Следовательно, $|OP|:|OQ|=|AH|:|AA_1|=1$, т. е. $|OP|=|OQ|$. Аналогично доказывается, что расстояния от точки $O$ до прямых $AB$ и $AC$ тоже равны $|OQ|$. Но это и значит, что $O$ — центр вписанной окружности, а $|OQ|$ — её радиус.
Приведём общее соотношение между расстоянием $d$ от точки $Q$ до плоскости $ABC$ и длинами $a$, $b$ и $c$ отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$:
$$
\dfrac{d}{a}+\frac{d}{b}+\dfrac{d}{c}=1\quad\text{или}\quad d=\dfrac{abc}{ab+bc+ca}.
$$
Докажите его самостоятельно и проверьте, что если $a$, $b$ и $c$ — длины высот треугольника, то $d$ — радиус его вписанной окружности. Рис. 2 иллюстрирует доказательство аналогичного соотношения в двумерном случае.
Рисунок 1
Рисунок 2
