Задача М842‍‍

а) Это довольно известное утверждение — подсказка к пункту б); оно легко доказывается с помощью стандартных формул преобразования суммы синусов и разности косинусов в произведение: $$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+2\sin\dfrac{\gamma}{2}\cos\dfrac{\gamma}{2}= \\ =2\sin\dfrac{\gamma}{2}\left(\cos\dfrac{\gamma}{2}-\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)= \\ =4\sin\dfrac{\gamma}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta-\gamma}{4}\sin\dfrac{\alpha+\gamma-\beta}{4}=-4\sin\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\beta}{2}\sin\dfrac{\gamma}{2} $$ (в последнем переходе использовано условие $\alpha+\beta+\gamma=0$‍.‍

б) Так как $\sqrt{3}=\dfrac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}$‍,‍ условие можно переписать так: $$ \sin\widehat{A}\cos60^\circ-\cos\widehat{A}\sin60^\circ+\sin\widehat{B}\cos60^\circ- \\ -\cos\widehat{B}\sin60^\circ+\sin\widehat{C}\cos60^\circ-\cos\widehat{C}\sin 60^\circ=0 $$ или $$ \sin(\widehat{A}-60^\circ)+\sin(\widehat{B}-60^\circ)+\sin(\widehat{C}-60^\circ)=0. $$ Применяя к углам $\widehat{A}-60^\circ$‍,‍ $\widehat{B}-60^\circ$‍‍ и $\widehat{C}-60^\circ$‍‍ утверждение пункта а), получим, что $$ \sin\dfrac{\widehat{A}-60^\circ}{2}\cdot\sin\dfrac{\widehat{B}-60^\circ}{2}\cdot\sin\dfrac{\widehat{C}-60^\circ}{2}=0, $$ т. е. хотя бы один из углов $\widehat{A}$‍,‍ $\widehat{B}$‍,‍ $\widehat{C}$‍‍ равен $60^\circ$‍.‍