Задача М834‍‍

а) Ответ: длина стороны $a$‍‍ квадратов сетки (в метрах) должна быть заключена в пределах $$ 122{,}7\approx\dfrac{100(10-\sqrt2)}7\le a\le100\sqrt2\approx141{,}4. $$

Углы поля должны отстоять не более чем на 100 м от ближайших к ним установок. Расстояние между противоположными углами поля равно $1000\sqrt2$‍,‍ а между противоположными угловыми установками — $7a\sqrt2$‍‍ (рис. 1). Поэтому должно выполняться условие $$ 1000\sqrt2\lt100+7\sqrt2\,a+100, $$ откуда $$ a\ge\dfrac{100(10-\sqrt2)}7\approx122{,}65. $$

Центр каждого квадрата сетки должен отстоять от его вершин также не более чем на 100 м, поэтому должно выполняться условие $\dfrac a{\sqrt2}\le100$‍,‍ откуда $a\le100\sqrt2\approx141{,}42$‍.‍ Заметим, что даже при максимальном значении $a=100\sqrt2$‍‍ все установки (при их симметричном относительно центра расположении на поле) уместятся в квадрате $1000\times1000$‍,‍ поскольку $7\sqrt2\lt10$‍.‍

Если оба условия на $a$‍‍ выполнены, то, как легко видеть, всё поле будет орошено; удобно нарисовать вокруг каждой установки $O$‍‍ квадрат с центром в $O$‍‍ и диагональю 200 метров (со стороной $100\sqrt2\ge a$‍)‍ — такие квадраты покрывают всё поле, а каждая установка поливает свой квадрат.

б) Витя предложил расставлять установки не по квадратной, а по треугольной сетке; на рисунке 2 показано, как разместить ровно $46=4\cdot7+3\cdot6$‍‍ установок, орошающих всё поле; на этом рисунке $R=100$‍,‍ $b=100\sqrt3\approx173{,}2~\text{м}$‍.‍ Пользуясь той же идеей, можно расставить даже $45=4\cdot6+3\cdot7$‍‍ установок (рис. 3). На этих рисунках ряды по 6 и 7 установок отстоят друг от друга на $\dfrac{3R}2$‍,‍ причём крайние (верхний и нижний) ряды отстоят от краёв поля всего на $\dfrac R2$‍,‍ а этого как раз достаточно, чтобы все точки этих краёв были политы; удобно, как это сделано на рисунке 3, нарисовать шестиугольники со стороной $R$‍,‍ каждый из которых поливается своей установкой.

В горизонтальном направлении ряд из 6 установок обслуживает расстояние $6a=600\sqrt3=1039{,}23\gt1000$‍,‍ так что и в этом направлении всё обстоит благополучно. Правда, в рядах из 7 установок на рисунках 2 и 3 крайние выступают за границы поля, но это легко исправить — можно просто сдвинуть каждую из них на край поля или равномерно уменьшить все расстояния по горизонтали.

С различными проявлениями «оптимальности» шестиугольной решётки в математических задачах и физических явлениях можно познакомиться, например, в книге Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп» из серии Библиотечка «Квант» (М., 1981). Напишите нам, встречались ли вам интересные её использования в живой природе (не считая, конечно, всем известных пчелиных сот), в технике.