Первое решение. Отрезки $PM$ и $NQ$ — средние линии треугольников $ABC$ и $DBC$ (см. рисунок), поэтому $|PM|=|NQ|=\dfrac12|BC|$. Аналогично, $|PN|=|MQ|=\dfrac12|AD|$. Следовательно, $PMQN$ — параллелограмм, а поскольку его диагонали перпендикулярны, это ромб. Таким образом, $|BC|=2|PM|=2|PN|=|AD|$.
Рисунок
Второе решение. Выразим векторы $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{MN}$ через $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$:
$$\begin{gather*}
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NQ}=\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{BC},\\
\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QN}=\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{BC}.
\end{gather*}\tag{1}$$
и перемножим скалярно левые и правые части этих равенств:
$$
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MN}=\dfrac14(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})=\dfrac14(|AD|^2-|BC|^2).
$$
Из этого соотношения видно, что $|AD|=|BC|$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MN}=0$, т. е. отрезки $PQ$ и $MN$ перпендикулярны (или вырождаются).
Оба решения без изменений проходят для любой четвёрки точек $A$, $B$, $C$, $D$ на плоскости или в пространстве. В частности, справедливы, например, такие утверждения: если у четырёхугольника средние линии перпендикулярны, то его диагонали равны; если три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, попарно перпендикулярны, то каждое его ребро равно противоположному (о таких — «равногранных» — тетраэдрах рассказывалось в статье В. Э. Матизена в «Кванте» 7 за 1983 г.). Из приведённых решений также видно, что в условиях задачи прямые $AD$ и $BC$ образуют равные углы с $PQ$ (и с $MN$).
