Задача М826‍‍

Ответ. а) нет, б) да. Заметим сначала, что если исходными числами были 2, 2, 2 или 3, 3, 3, или вообще любые числа, большие 1, то и все последующие числа будут больше 1, причём наибольшее число в каждой новой тройке всегда на 1 меньше суммы двух других. Это соображение позволяет по последней тройке чисел восстановить все предыдущие, кроме самой первой.

Действительно, пусть в тройке $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ для определённости $a\le b\le c$‍.‍ Тогда $c=a+b-1$‍,‍ и предыдущая тройка имеет вид $a$‍,‍ $b$‍,‍ $x$‍.‍ Наибольшим числом в ней можно считать $b$‍‍ (если $x\gt b$‍,‍ то $x=a+b-1=c$‍).‍ Но тогда $b=a+x-1$‍.‍ Следовательно, тройка $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ при $a\le b\le c$‍‍ получается из тройки $a$‍,‍ $b$‍,‍ $b-a+1$‍.‍

Пользуясь этим правилом, восстановим все записи на доске, начиная с конца: $$ \begin{gather*} (17,1967,1983)\gets(17,1967,1951)\gets(17,1935,1951)\gets\ldots\\ \ldots\gets(17,15,31)\gets(17,15,3)\gets(13,15,3)\gets\ldots\\ \ldots\gets(5,7,3)\gets(5,3,3). \end{gather*} $$

По нашему правилу тройке 5, 3, 3 должна бы предшествовать тройка 1, 3, 3, содержащая 1, что невозможно. Поэтому 5, 3, 3 — тройка, полученная на первом шаге. (Очевидно, что остальные тройки на первом шаге возникнуть не могут.) Ясно, что тройка 5, 3, 3 может получиться из 3, 3, 3 и не может — из 2, 2, 2.