Карточки четырёх цветов — $n$ зелёных, $n$ красных, $n$ синих и $n$ жёлтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я,5-я,9-я, $\ldots$ карточки — красные; 2-я,6-я, $\ldots$ — жёлтые и т. д.). Несколько карточек сверху сняли, не перекладывая перевернули и произвольным образом вставили между оставшимися (рис. 1). После этого стопку разделили на $n$ маленьких стопок по четыре карточки. Докажите, что в каждой из этих четвёрок встретятся карточки всех четырёх цветов.
Занумеруем цвета карточек числами 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы первоначальному расположению карт в колоде соответствовала последовательность
$$
1234\,1234\ldots1234
$$
(левый конец этой последовательности соответствует низу колоды, правый — её верху).
Мы делим колоду на две части так, как показано на рисунке 1, после чего карточки части II переворачиваем и произвольно вставляем между карточками части I. В новой колоде в первой (снизу) четвёрке будет карточка из начала части I (1, $\ldots$, $k$) и $4-k$ карточек из конца части II ($k+1$, $\ldots$, 4) — см. рисунок 2; очевидно, что при этом каждый цвет будет представлен по разу. Остатки частей I и II (без первой четвёрки карточек) примут вид, показанный на рисунке 3. Прежде чем двигаться дальше, перенумеруем цвета: $(k+1)$-й цвет получит номер 1, $(k+2)$-й цвет — номер 2, $\ldots$, 4-й цвет — номер $(4-k)$, 1-й цвет — номер $(4-k)+1$, $\ldots$, $k$-й цвет — номер 4.
После этого части, изображённые на рисунке 3, будут выглядеть как в самом начале, только номер $s$ заменён каким-то номером $t$ (рис. 4). Во второй четвёрке новой колоды (см. снова рисунок 2) будет $l$ карточек из части I (новые номера 1, $\ldots$, $l$) $4-l$ карточек из части II (новые номера $l+1$, $\ldots$, 4) — и снова каждый цвет будет представлен по разу. И т. д. Когда в новой колоде останется всего четыре карточки (каждую рассмотренную четвёрку карточек мы всякий раз убираем в новую стопку), часть I (точнее, её «остаток») будет иметь вид 1, $\ldots$, $u$, часть II — вид $u+1$, $\ldots$, 4, где $u$ — номер, который после перенумераций получит цвет, имевший вначале номер $s$. В этой последней четвёрке снова будут представлены все цвета.
