Задача М809‍‍

Ответ: $1-\dfrac1{n!}$‍.‍

Получить ответ совсем легко, если представить $k$‍‍-е слагаемое искомой суммы в виде $$ \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{(k+1)-1}{(k+1)!}=\dfrac1{k!}-\dfrac1{(k+1)!}. $$

Имеем $$ \dfrac1{2!}+\dfrac2{3!}+\ldots+\dfrac{n-1}{n!}=\left(1-\dfrac1{2!}\right)+\left(\dfrac1{2!}-\dfrac1{3!}\right)+\ldots+\left(\dfrac1{(n-1)!}-\dfrac1{n!}\right)=1-\dfrac1{n!}. $$