Задача М806‍‍

Докажем сначала такое утверждение: если дифференцируемая функция $f(x)$‍‍ обращается в ноль в точках $x=0$‍‍ и $x=1$‍,‍ то её производная должна обратиться в ноль в некоторой внутренней точке отрезка $[0; 1]$‍.‍

Это очевидно, если функция $f(x)$‍‍ тождественно равна 0 на отрезке $[0; 1]$‍.‍ В противном случае рассмотрим точки, в которых она принимает своё наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке. (Такие точки существуют по теореме Вейерштрасса — см. учебник «Алгебра и начала анализа 9‍—‍10», п. 28 — ибо функция $f(x)$‍,‍ будучи дифференцируемой, непрерывна.) Одно из этих значений должно быть отлично от нуля и, следовательно, принимается в точке $x_0$‍,‍ лежащей внутри отрезка $[0; 1]$‍.‍ Таким образом, $x_0$‍‍ — точка экстремума функции $f(x)$‍‍ на интервале $(0; 1)$‍,‍ и по теореме Ферма («Алгебра и начала анализа 9‍—‍10», п. 26) $f'(x_0)=0$‍.‍

Воспользуемся доказанным утверждением для решения задачи.

а) Рассмотрим функцию $$ f(x)=a_1x+\dfrac{a_2}{2}x^2+\ldots+\dfrac{a_n}{n}x^n. $$ По условию $$f(1)=a_1+\dfrac{a_2}{2}+\ldots+\dfrac{a_n}{n}=0, $$ кроме того, $f(0)=0$‍.‍ Согласно доказанному утверждению $f'(x_0)=0$‍‍ при некотором $x_0$‍‍ из интервала $(0; 1)$‍.‍ Остаётся заметить, что $$ f'(x)=a_1+a_2x+\ldots+a_nx^{n-1}. $$

б) Доказательство такое же, как в п. а), с той разницей, что вместо функции $f(x)$‍‍ надо взять $$ g(x)=\dfrac{a_1}{p+1}x^{p+1}+\dfrac{a_2}{p+2}x^{p+2}+\ldots+\dfrac{a_n}{p+n}x^{p+n} $$ и учесть, что в равенстве $$ g'(x_0)=x_0^p\bigl(a_1+a_2x_0+\ldots+a_nx_0^{n-1}\bigr)=0 $$ множитель $x_0^p$‍‍ ненулевой.