Задача М795‍‍‍

Обозначим через $\sigma (n)$‍‍ сумму всех делителей натурального числа $n$‍‍ (рис. 3). Докажите, что существует бесконечно много $n$‍‍ таких, что

1. $\sigma(n)\gt 2n$‍;‍
2. $\sigma(n)\gt 3n$‍.‍

Докажите, что для любого $n$‍‍

1. $\sigma(n)\lt n(\log_2n+2)$‍;‍
2. $\sigma(n)\lt n(\ln n+1)$‍.‍