Условие задачи (1983, № 3) Задача М793 // Квант. — 1983. — № 3. — Стр. 43—44; 1983. — № 7. — Стр. 53—55.
Из вершины
- Повторив это же построение для тетраэдра
$PA'B'C'$ (и его вершины$P$), мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному тетраэдру$PABC$ с коэффициентом$\dfrac{3V}{4}$, где$V$ равно объёму тетраэдра$PABC$. - Вектор
$\overrightarrow{PA'}+\overrightarrow{PB'}+\overrightarrow{PC'}$ перпендикулярен плоскости$ABC$. - Из точки
$O$, взятой внутри тетраэдра$ABCD$, опускаются перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки$O$ откладываются отрезки, равные по длине площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков принимаются за вершины нового тетраэдра$A'B'C'D'$. (Разумеется, с точностью до параллельного переноса, этот тетраэдр не зависит от выбора точки$O$.) Докажите, что повторив это построение для тетраэдра$A'B'C'D'$, мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному с коэффициентом$3V$, где$V$ — объём исходного тетраэдра$ABCD$. (Если$3V=1$, то последний тетраэдр получается из исходного параллельным переносом.)
Изображения страниц
Решение задачи (1983, № 7) Задача М793 // Квант. — 1983. — № 3. — Стр. 43—44; 1983. — № 7. — Стр. 53—55.
Текстовое представление решения задачи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере