Задача М790‍‍‍

1. Про числовую функцию известно, что если $|x-y|=1$‍,‍ то $|f(x)-f(y)|=1$‍.‍ Верно ли, что при любых $x$‍‍ и $y$‍‍ будет выполнено равенство $$ |f(x)-f(y)|=|x-y|? $$

Пусть про отображение $F$‍‍ плоскости в себя известно, что любые две точки $X$‍,‍ $Y$‍,‍ находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в две точки $F(X)$‍,‍ $F(Y)$‍,‍ также находящиеся на расстоянии 1: $$ \varrho(X,Y)=1\Rightarrow\varrho\big(F(X),F(Y)\big)=1. $$ Тогда для любых двух точек $X$‍,‍ $Y$‍‍ плоскости $$ \varrho(X,Y)=\varrho\big(F(X),F(Y)\big), $$ т. е. отображение $F$‍‍ сохраняет расстояние. Докажите следующие утверждения, из которых вытекает эта теорема: для любых $X$‍,‍ $Y$‍‍

1. $\varrho\big(F(X),F(Y)\big)\le\varrho(X,Y)+1;$‍‍
2. $\varrho(X,Y)=\sqrt{3}\Rightarrow\varrho\big(F(X),F(Y)\big)=\sqrt{3};$‍‍
3. $\varrho\big(F(X),F(Y)\big)\le\varrho(X,Y);$‍‍
4. $\varrho\big(F(X),F(Y)\big)\ge\varrho(X,Y)$‍‍

(Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.)