Задача М773‍‍

Преобразуем условие задачи: $$ \begin{gathered} \overrightarrow{0}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\\ =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM})=\\ =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{AM}), \end{gathered}$$ т. е. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$‍.‍ Значит, откладывая векторы $\overrightarrow{AM}$‍,‍ $\overrightarrow{BN}$‍‍ и $\overrightarrow{CP}$‍‍ один за другим, начиная с произвольной точки $Q$‍‍ (см. рисунок) мы получим треугольник $QKL$‍.‍

Обозначим длины сторон треугольника $QKL$‍‍ через $x=|QK|=|AM|$‍,‍ $y=|KL|=|BN|$‍‍ и $z=|LQ|=|CP|$‍.‍ Тогда $$ |AB|=|AM|+|MB|=|AM|+|BN|=x+y, $$ так как по свойству касательных, проведённых из одной точки, $|BM|=| BN|$‍;‍ аналогично $|BC|=y+z$‍,‍ $|CA|=z+x$‍.‍ Tpeугольники $ABC$‍‍ и $QKL$‍‍ имеют соответственно параллельные стороны, поэтому они подобны и $|AB|:|QK|=|BC|:|KL|=|CA|:|LQ|$‍.‍ Следовательно, $$\frac{x+y}{x}=\frac{y+z}{y}=\frac{z+x}{z}=\frac{(x+y)+(y+z)+(z+x)}{x+y+z}=2.$$ Итак, $x+y=2x$‍,‍ $y+z=2y$‍.‍ Отсюда $x=y=z$‍‍ и $|AB|=|BC|=|CA|$‍.‍