а) Заметим сначала (обозначения ясны из рисунка), что $\widehat{A_1LB}=\widehat{LBA}$ (это следует из того, что угол $A_1LB$ — внешний для треугольника $ALB$ и поэтому $\widehat{A_1LB}=\alpha+\beta$). С другой стороны, по свойству вписанного угла, $\widehat{A_1BL}=\widehat{CBA_1}+\widehat{CBB_1}=\alpha+\beta$. Поэтому $|A_1B|=|A_1L|$. Аналогично, $|CL|=|BC_1|$.
По теореме синусов, $|A_1B|=2R\sin\alpha$, $|C_1B|=2R\sin\gamma$. Из $\triangle A_1LB$ получаем $|LB|=2|A_1L|\sin\gamma=4R\sin\alpha\cdot\sin\gamma$. Итак,
$\dfrac{|A_1L|\cdot|C_1L|}{|BL|}=\dfrac{2R\sin\alpha\cdot2R\sin\gamma}{4R\sin\alpha\cdot\sin\gamma}=R.$
б) Поскольку $|A_1L|=\dfrac r{\sin\alpha}$, $|CL|=\dfrac r{\sin\gamma}$, а $|B_1L|=\dfrac{|CL|}{2\sin\alpha}=\dfrac r{2\sin\alpha\cdot\sin\gamma}$ ($\triangle B_1CL$ — равнобедренный, причём $|B_1C|=|B_1L|$), то $\dfrac{|AL|\cdot|CL|}{|B_1L|}=2r$.
в) По известной формуле, $S_{ABC}=\dfrac{abc}{4R}$, $S_{A_1B_1C_1}=\dfrac{a_1b_1c_1}{4R}$, и поэтому $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{abc}{a_1b_1c_1}$. Из подобия $\triangle CLB\sim\triangle B_1LC_1$ следует, что $\dfrac a{a_1}=\dfrac{|LB|}{|LC_1|}$. Аналогично, $\dfrac b{b_1}=\dfrac{|CL|}{|LA_1|}$; $\dfrac c{c_1}=\dfrac{|LA|}{|LB_1|}$. Итак, $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{|LA|\cdot|LB|\cdot|LC|}{|LA_1|\cdot|LB_1|\cdot|LC_1|}=\dfrac{2r}R$ по доказанному в пунктах а) и б).
Из решения задачи нетрудно получить неравенство $2r\le R$, а также соотношение $|AL|\cdot|LA_1|=2Rr$, которое удобно использовать при доказательстве формулы Эйлера $d^2=R^2-2Rr$, где $d$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника. Ряд интересных следствий результатов задачи можно получить, заметив, что прямые $A_1A$, $B_1B$, $C_1C$ содержат высоты $\triangle A_1B_1C_1$; одно из них: площадь треугольника равна половине произведения радиуса описанной окружности на периметр треугольника, образованного основаниями высот.
