Докажем, что данные числа можно разбить на три группы так, что суммы чисел в этих группах $s_1\le s_2\le s_3$ отличаются не более чем на 1, т. е. $s_3-s_1\le1$. (Мы допускаем и «пустые» группы, состоящие из 0 чисел — сумма чисел в такой группе считается равной 0.) Для этого достаточно выбирать числа в произвольном порядке по одному и записывать в три столбика, причём каждое очередное число добавлять в тот столбик, где сумма чисел наибольшая, если это число отрицательно, и в тот столбик, где сумма наименьшая, если это число неотрицательно (вначале мы возьмём три числа одного знака из данных $n$ чисел и запишем их первыми в разные столбики). Легко видеть, что после каждого шага суммы чисел в столбиках отличаются не более чем на 1, так что в результате мы получим нужное разбиение.
Теперь проверим, что средняя по величине сумма $s_2$ удовлетворяет требованиям $-\dfrac13\le s_2-\dfrac s3\le\dfrac13$, где $s=s_1+s_2+s_3$ — сумма всех чисел:
$$\begin{align*}
3s_2&\le(s_1+1)+s_2+s_3=s+1,\\
3s_2&\ge s_1+s_2+(s_3-1)=s-1.
\end{align*}$$
Интересно выяснить (для каждого $\theta$ между 0 и 1), для какого наименьшего $d=d(\theta)$ верно аналогичное неравенство $|s'-\theta s|\lt d$, где $s$ — сумма произвольных $n$ чисел, $s'$ — сумма некоторой группы из них. (Простые примеры показывают, что для $\theta=\dfrac13$ оценку $d=\dfrac13$ нельзя заменить меньшей.)
