а) Ответ: не существуют. Заметим, что система уравнений
$$
x-y+1=0,\quad y-z-1=0,\quad z-2x+1=0
$$
имеет решение $(x,y,z)=(1,2,1)$. При подстановке этих значений переменных в рассматриваемое тождество множители при многочленах $P$, $Q$ и $R$, а с ними и вся левая часть, обращаются в нуль, и тождество нарушается, какие бы многочлены мы ни выбрали.
б) Ответ: существуют. Пусть $f=x-y+1$, $g=y-z-1$, $h=z-x+1$, тогда $f+g+h=1$ при всех значениях $x$, $y$ и $z$. Возведя последнее тождество в седьмую степень, получим, что 1 представляется в виде суммы слагаемых вида $f^k\cdot g^l\cdot h^m$, где $k$, $l$, $m\ge0$ и $k+l+m=7$, а значит, хотя бы одно из чисел $k$, $l$, $m$ не меньше 3. Таким образом, каждое из этих слагаемых делится или на $f^3$, или на $g^3$, или на $h^3$. Группируя все слагаемые, делящиеся на $f^3$, и вынося $f^3$ за скобки, получим $f^3\cdot P$. Группируя те из оставшихся слагаемых, которые делятся на $g^3$, получим $g^3\cdot Q$. Сумма остальных слагаемых равна $h^3\cdot R$ ($P$, $Q$ и $R$ — какие-то многочлены от $x$, $y$, $z$). В итоге мы получим тождество нужного вида:
$$
f^3\cdot P+g^3\cdot Q+h^3\cdot R=1.
$$
От редакции. Эти задачи наводят на мысль, что верна общая теорема: если многочлены $F_1$, $F_2$, $\ldots$, $F_m$ (от одного или нескольких переменных) не обращаются одновременно в нуль, то найдутся такие многочлены $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_m$, что $F_1P_1+F_2P_2+\ldots+F_mP_m=1$. Такая теорема в самом деле верна, если учитывать не только действительные, но и комплексные значения переменных. Более того, эта теорема — частный случай знаменитой теоремы Гильберта о корнях: если многочлен $G$ обращается в $0$ при всех тех (комплексных) значениях переменных, при которых одновременно $F_1=0$, $\ldots$, $F_m=0$, то существуют многочлены $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_m$ и натуральное число $r$ такие, что
$$
F_1P_1+F_2P_2+\ldots+F_mP_m=G^r.
$$
