Докажите, что если $x_1$, $x_2$, $x_3$ — положительные числа, то $$
\dfrac{x_1}{x_2+x_3}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\dfrac{x_3}{x_1+x_2}\ge\dfrac32;
$$
при каком условии это неравенство превращается в равенство?
Докажите, что если $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — положительные числа, то $$
\dfrac{x_1}{x_2+x_n}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\ldots+\dfrac{x_{n-1}}{x_n+x_{n-2}}+
\dfrac{x_n}{x_1+x_{n-1}}\ge2,
$$
причём равенство возможно только при $n=4$.
Докажите, что при $n\gt4$ неравенство пункта б) является точным в том смысле, что ни при каком $n$ число $2$ в правой части нельзя заменить на большее.
а) Пусть $a=x_2+x_3$, $b=x_3+x_1$, $c=x_1+x_2$. Тогда
$x_1=\dfrac{b+c-a}2$, $x_2=\dfrac{a+c-b}2$, $x_3=\dfrac{a+b-c}2$,
и левая часть неравенства перепишется так:
$$
\begin{gather*}
\dfrac{b+c-a}{2a}+\dfrac{a+c-b}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}=\\
=\dfrac12\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\dfrac12\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\dfrac12\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)-\dfrac32.
\end{gather*}
$$
Каждая из скобок в этом выражении не меньше $2$ в силу известного неравенства $x+\dfrac1x\ge2$ при $x\gt0$. Поэтому вся левая часть не меньше $3-\dfrac32=\dfrac32$. А так как $x+\dfrac1x=2$ только при $x=1$, доказанное неравенство обращается в равенство только при $a=b=c$.
б) Докажем неравенство индукцией по $n$. При $n=4$ оно очевидно:
$$
\dfrac{x_1}{x_2+x_4}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\dfrac{x_3}{x_4+x_2}+\dfrac{x_4}{x_1+x_3}=
\dfrac{x_1+x_3}{x_2+x_4}+\dfrac{x_2+x_4}{x_1+x_3}\ge2;
$$
равенство возможно в том и только в том случае, когда $x_1+x_3=x_2+x_4$.
Докажем теперь неравенство для произвольных положительных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{n+1}$, предполагая, что оно справедливо для любых $n$ ($n\ge4$) положительных чисел. Выберем наименьшее из чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{n+1}$. Поскольку они входят в неравенство симметрично, можно, не ограничивая общности, считать, что это $x_{n+1}$. Тогда $x_{n+1}\gt0$, $x_{n+1}\le x_n$ и $x_{n+1}\le x_1$, и поэтому
$$
\begin{gather*}
\dfrac{x_1}{x_2+x_{n+1}}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\ldots+\dfrac{x_n}{x_{n+1}+x_{n-1}}+\dfrac{x_{n+1}}{x_1+x_n}\gt\\
\gt\dfrac{x_1}{x_2+x_n}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\ldots+\dfrac{x_n}{x_1+x_{n-1}}\ge2
\end{gather*}
$$
(последнее неравенство выполняется по предположению индукции). Попутно получаем, что при $n\gt4$ равенство невозможно.
Рис. 1Рис. 2
в) Числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ удобно расставлять по окружности; тогда каждое слагаемое в левой части рассматриваемого неравенства есть одно из этих чисел, делённое на сумму двух соседних с ним. При $n=2k$ определим $x_i$ так, как показано на рисунке 1, а при $n=2k+1$ — как на рисунке 2. В первом случае получим сумму
$$
2\left(\dfrac1{q+1}+\dfrac{q}{q^2+1}+\dfrac{q^2}{q^3+q}+\ldots+\dfrac{q^{k-1}}{q^{k-1}+q^{k-2}}\right)=
2\left(1+\dfrac{(k-2)q}{q^2+1}\right),
$$
а во втором —
$$
\begin{gather*}
\dfrac1{2q}+2\left(\dfrac{q}{q^2+1}+\dfrac{q^2}{q^3+q}+\ldots+\dfrac{q^k}{q^k+q^{k-1}}\right)=\\
=\dfrac1{2q}+\dfrac{2(k-1)q}{q^2+1}-\dfrac{2q}{q+1}=
2+\left(\dfrac1{2q}+\dfrac{2(k-1)q}{q^2+1}-\dfrac2{q+1}\right).
\end{gather*}
$$
В обоих случаях при достаточно большом $q$ значение левой части будет сколь угодно близко к 2, поэтому число 2 в неравенстве на большее заменить нельзя.
