Условие задачи (1982, № 5) Задача М745 // Квант. — 1982. — № 5. — Стр. 19—20; 1982. — № 10. — Стр. 34—35.
- Задана последовательность чисел
$(d_n)$ таких, что$|d_n|\le1$ ($n=1$, $2$, $\ldots$). Докажите, что можно выбрать последовательность$(s_n)$ из чисел$+1$ и$-1$ так, что для всех$n$ $$ |d_1s_1+d_2s_2+\ldots+d_ns_n|\le1. $$ - Задана последовательность троек чисел
$(a_n,b_n,c_n)$ таких, что$|a_n|\le1$, $|b_n|\le1$, $|c_n|\le1$ и$a_n+b_n+c_n=0$ ($n=1$, $2$, $\ldots$). По ней строится новая последовательность троек$(x_n, y_n, z_n)$, в которой$x_0=y_0=z_0=0$, а каждая тройка$(x_n,y_n,z_n)$ при$n\ge1$ получается из предыдущей$(x_{n-1},y_{n-1},z_{n-1})$ прибавлением к$x_{n-1}$ одного из чисел$a_n$, $b_n$, $c_n$ по нашему выбору, к$y_{n-1}$ — другого, к$z_{n-1}$ — третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа$x_n$, $y_n$, $z_n$ будут по абсолютной величине не больше$1$ или хотя бы ограничены некоторой константой? - Выясните аналогичные вопросы для последовательностей четвёрок чисел.
Изображения страниц
Решение задачи (1982, № 10) Задача М745 // Квант. — 1982. — № 5. — Стр. 19—20; 1982. — № 10. — Стр. 34—35.
Текстовое представление решения задачи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере