В треугольник $ABC$ вписан подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$, углов, равных по величине $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, лежат, соответственно, на отрезках $BC$, $CA$ и $AB$). Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ — точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_1$, $AA_1$ и $CC_1$, $BB_1$ и $AA_1$. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников $ABC_0$, $BCA_0$, $ACB_0$, $A_1B_1C_0$, $A_1C_1B_0$, $B_1C_1A_0$, пересекаются в одной точке.
Наиболее естественное решение задачи основано на том, что все 6 рассматриваемых окружностей проходят через неподвижную точку преобразования подобия, переводящего $\triangle ABC$ в подобный ему $\triangle A_1B_1C_1$. Для нас важно, что существует лишь единственное такое преобразование. (В самом деле, предположим, что имеются два преобразования подобия, $\mathit\Pi$ и $\mathit\Pi_1$, которые переводят $\triangle ABC$ в $\triangle A_1B_1C_1$. Тогда преобразование подобия $F=\mathit\Pi_1^{-1}\circ\mathit\Pi$ оставляет точки $A$, $B$ и $C$ на месте (например, $F(A)=\mathit\Pi_1^{-1}(\mathit\Pi(A))=\mathit\Pi_1^{-1}(A_1)=A$). Отсюда вытекает, что $F$ — перемещение и, более того, тождественное преобразование. Следовательно, преобразование $\mathit\Pi_1^{-1}$ является обратным к $\mathit\Pi$, т. е. $\mathit\Pi=\mathit\Pi_1$.)
Разобьём теперь рассматриваемые окружности на три пары: $ABC_0$ и $A_1B_1C_0$, $BCA_0$ и $B_1C_1A_0$, $CAB_0$ и $C_1A_1B_0$. Возьмём любую из этих пар, например окружности $S$ и $S_1$, описанные около треугольников $ABC_0$ и $A_1B_1C_0$. Они имеют общую точку $C_0$; пусть $O$ — вторая их общая точка (см. рис. 1; если они касаются, положим $O=C_0$). Мы покажем, что существует преобразование подобия, оставляющее на месте точку $O$, и только её, и переводящее $\triangle ABC$ в $\triangle A_1B_1C_1$. Поскольку пару окружностей $S$ и $S_1$ можно заменить на любую из двух других пар, и при этом должно получаться одно и то же преобразование подобия, все три пары окружностей должны иметь общую точку, что нам и требуется.
Итак, пусть пока $O\ne C_0$; обозначим центры окружностей $S$ и $S_1$ через $Q$ и $Q_1$. Выполняя последовательно поворот $R_O^\phi$ вокруг точки $O$ на угол $\phi=\widehat{QOQ_1}$ в соответствующем направлении (на рисунках — против часовой стрелки) и гомотетию $H_O^k$ с центром $O$ и коэффициентом $k=|OQ_1|:|OQ|$, мы получим преобразование подобия $\mathit\Pi=H_O^k\circ R_O^\phi$, переводящее точку $Q$ в $Q_1$. При этом точка $O$ (и только она) остаётся на месте, а окружность $S$ переходит в окружность с центром $Q_1$, проходящую через точку $O$: $\mathit\Pi(S)=S_1$. Докажем, что $\mathit\Pi$ и есть нужное нам преобразование, т. е. $\mathit\Pi(\triangle ABC)=\triangle A_1B_1C_1$.
Рис. 2
Заметим, что точки $A$ и $A_1$ находятся по разные стороны от прямой $OC_0$, и потому лежат на «внешних» дугах $OC_0$ окружностей $S$ и $S_1$ (рис. 2). Следовательно, угол $OAC_0$ равен по величине половине центрального угла $\widehat{OQC_0}$, т. е. $\widehat{OAA_1}=\widehat{OQQ_1}$, и, аналогично, $\widehat{OA_1A}=\widehat{OQ_1Q}$. Таким образом, $\triangle OAA_1\sim\triangle OQQ_1$. С другой стороны, $\triangle OQQ_1\sim\triangle OAA'$, где $A'=\mathit\Pi(A)$, поскольку, по определению преобразования $\mathit\Pi$, $\widehat{AOA'}=\phi=\widehat{QOQ_1}$ и $|OA'|:|OA|=k=|OQ_1|:|OQ|$. Итак, треугольники $OAA_1$ и $OAA'$ подобны и имеют общую сторону $OA$, поэтому точки $A_1$ и $A'$ либо совпадают, либо симметричны относительно $(OA)$, а так как обе они лежат на окружности $S_1$, $A_1=A'=\mathit\Pi(A)$. Аналогично доказывается, что $B_1=\mathit\Pi(B)$. Наконец, пусть $C'=\mathit\Pi(C)$. Как и выше, из подобия треугольников $A_1B_1C'=\mathit\Pi(\triangle ABC)$, $ABC$ и $A_1B_1C_1$ вытекает, что точки $C_1$ и $C'$ либо совпадают, либо симметричны относительно $(A_1B_1)$. Но точки $C$ и $O$ лежат по одну сторону от $(AB)$, поэтому их образы $C'$ и $O$ должны лежать по одну сторону от $(A_1B_1)$, и, следовательно, $\mathit\Pi(C)=C_1$.
Если окружности $S$ и $S_1$ касаются, то, как легко видеть, в качестве преобразования $\mathit\Pi$ следует взять гомотетию с центром $O=C_0$. В этом случае треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ гомотетичны, что возможно лишь тогда, когда $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон треугольника $ABC$, а $A_0=B_0=C_0$ — точка пересечения его медиан.
