Задача М740‍‍

а), б) Будем считать, что пшено заполняет какую-то часть цилиндрической кастрюли без пустот, наподобие жидкости.

Пусть радиус кастрюли равен $R$‍,‍ а пшена насыпано столько, что оно поднялось до высоты $H$‍‍ (см. рисунок). Вычислим объём, занятый пшеном. Для этого воспользуемся формулой $V=\int\limits_a^b S(x)\,dx,$‍‍ где $V$‍‍ — объём некоторого тела, проектирующегося на отрезок $[a,b]$‍‍ оси $Ox$‍,‍ а $S(x)$‍‍ — площадь сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$‍‍ и пересекающей её в точке с координатой $x$‍.‍ Пусть $O$‍‍ — центр основания цилиндра; ось $Ox$‍‍ направим по диаметру $AB$‍‍ (см. рисунок). Плоскость, перпендикулярная этой оси, пересекает тело, заполненное пшеном, по треугольнику $O_1L_1K_1$‍.‍ Так как $\triangle O_1L_1K_1\sim\triangle OLK$‍‍ (см. рисунок), то $\dfrac lR=\dfrac hH$‍.‍ Поэтому $S(x)=\dfrac12lh=\dfrac12\cdot\dfrac HRl^2$‍,‍ а так как $l^2=R^2-x^2$‍,‍ то $S(x)=\dfrac12\cdot\dfrac HR(R^2-x^2)$‍.‍ Следовательно, объём пшена равен $$ V=2\int\limits_0^R\dfrac12\cdot\dfrac HR(R^2-x^2)\,dx=\dfrac HR\int\limits_0^R{}(R^2-x^2)\,dx=\dfrac23HR^2. $$ Поскольку общий объём воды и пшена равен $\pi R^2H$‍,‍ отношение объёмов воды и пшена равно $\left(\pi-\dfrac23\right):\dfrac23=\dfrac{3\pi}2-1\approx3{,}7$‍‍ и не зависит от количества пшена и размеров кастрюли‍.

Другое решение пункта а) легко получить из следующей общей теоремы: при растяжениях (сжатиях) вдоль оси объёмы всех тел умножаются на один и тот же коэффициент, равный коэффициенту растяжения (сжатия). Попробуйте доказать эту теорему.