Задача М736 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1982, № 4) Задача М736 // Квант. — 1982. — № 4. — Стр. 25; 1982. — № 9. — Стр. 41.

Медиана $BK$‍‍ и биссектриса $CL$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ пересекаются в точке $P$‍.‍ Докажите равенство $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}-\dfrac{|AC|}{|BC|}=1. $$

З. Анджапаридзе

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1982, № 9) Задача М736 // Квант. — 1982. — № 4. — Стр. 25; 1982. — № 9. — Стр. 41.

Проведём отрезок $LM$‍,‍ параллельный $BK$‍‍ (см. рисунок). Ясно, что $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}=\dfrac{|KC|}{|KM|},\quad \dfrac{|BL|}{|KM|}=\dfrac{|LA|}{|MA|}. $$

Рисунок

Поскольку $CL$‍‍ — биссектриса угла $C$‍,‍ $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|LA|}{|LB|}$‍.‍ Поэтому $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|MA|}{|KM|}$‍,‍ и, следовательно, $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}-\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|KC|}{|KM|}-\dfrac{|MA|}{|KM|}=\dfrac{|KC|-|MA|}{|KM|}=\dfrac{|KM|}{|KM|}=1, $$ что и требовалось.

З. Анджапаридзе

Открыть в номере

Метаданные Задача М736 // Квант. — 1982. — № 4. — Стр. 25; 1982. — № 9. — Стр. 41.

Предмет

Математика

Условие

Анджапаридзе З.

Решение

Анджапаридзе З.

Номера

1982. — № 4. — Стр. 25 [условие]

1982. — № 9. — Стр. 41 [решение]

Описание

Задача М736 // Квант. — 1982. — № 4. — Стр. 25; 1982. — № 9. — Стр. 41.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m736/