Найдите натуральное число, обладающее таким свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.
Графическое решение уравнения $L(x^6)=L(x^2)+L(x^3)$. Масштаб на оси $x$ — логарифмический. Корни уравнения выделены.
Ответ (подсказываемый номером задачи): искомое число равно 3; для него $3^2=9$, $3^3=27$, $3^6=729$.
Догадаться до ответа нетрудно, но надо ещё доказать, что других таких чисел нет. В нашем доказательстве, как во многих задачах про целые числа, используются оценки числа по величине (в данном случае — оценка числа цифр) и соображения делимости.
Обозначим через $L(x)$ количество цифр натурального числа $x$: $L(x)=k+1$, если $10^k\le x\lt10^{k+1}$. Для искомого числа должно выполняться равенство
$$
L(a^6)=L(a^3)+L(a^2)\tag1
$$
(см. рисунок). Чтобы выяснить, для каких $a$ оно верно, удобно разбить натуральный ряд на отрезки
$$
10^{\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle 6}}\le a\lt10^{\frac{\scriptstyle m+1}{\scriptstyle6}},\quad\text{где}~10^m\le a^6\lt10^{m+1}\tag2
$$
($m=0$, 1, 2, $\ldots$). Для чисел $a$ на отрезке (2) величина $L(a^6)=m+1$, а также $L(a^3)$ и $L(a^2)$ принимают постоянные значения:
$$
L(a^3)=\left[\dfrac m2\right]+1,
$$
так как $10^{\left[\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle2}\right]}\le 10^{\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle2}}\le a^3\lt10^{\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle2}+\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}\le10^{\left[\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle2}\right]}+1$;
$$
L(a^2)=\left[\dfrac m3\right]+1,
$$
так как $10^{\left[\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle3}\right]}\le10^{\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle3}}\le a^2\lt10^{\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle3}+\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle3}}\le 10^{\left[\frac{\scriptstyle m}{\scriptstyle3}\right]+1}$
(здесь $[y]$ означает целую часть числа $y$). Равенство (1) для таких $a$ принимает вид $$
\begin{gather*}
m=\left[\dfrac m3\right]+\left[\dfrac m2\right]+1,\quad\text{или}\\
\dfrac m6+\left(\dfrac m3-\left[\dfrac m3\right]\right)+\left(\dfrac m2-\left[\dfrac m2\right]\right)=1.
\end{gather*}
$$
Последнее преобразование позволяет записать равенство совсем коротко, используя обозначение $\{y\}=y-[y]$ для «дробной части» числа $y$: $\dfrac m6-\left\{\dfrac m3\right\}+\left\{\dfrac m2\right\}=1$. Величина $\left\{\dfrac m2\right\}$ принимает только два значения: 0 и $\dfrac12$, а $\left\{\dfrac m3\right\}$ — только три: 0, $\dfrac13$ и $\dfrac23$. Значения $m$, отвечающие шести возможным вариантам, представлены в таблице:
$$
\def\a#1{\enspace\quad\mathclap{#1}\quad\enspace}
\def\|{\vphantom{\Bigg|}}
\colsep{0pt}{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\|\a{\left\{\dfrac m2\right\}}&\a0&\a0&\a0&\a{\dfrac12}&\a{\dfrac12}&\a{\dfrac12}\\
\hline
\|\a{\left\{\dfrac m3\right\}}&\a0&\a{\dfrac13}&\a{\dfrac23}&\a0&\a{\dfrac13}&\a{\dfrac23}\\
\hline
\|\a m&\a6&\a4&\a2&\a3&\a1&\a{\text{—}}&~(m\lt0)~\\
\hline
\end{array}}
$$
При $m=1$, 2, 3, 4 получаем $10^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle6}}\le a\lt10^{\frac{\scriptstyle5}{\scriptstyle6}}$, т. е. $2\le a\le6$ ($10^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle6}}\approx1{,}4678$, а $10^{\frac{\scriptstyle5}{\scriptstyle6}}\approx6{,}8731$). При $m=6$ получаем, что «подозрительные» числа лежат в интервале $10\le a\lt10^{\frac{\scriptstyle7}{\scriptstyle6}}\approx14{,}678$, т. е. $10\le a\le14$.
Все «подозрительные» числа можно перебрать и получить ответ. Однако перебор можно ещё сократить, воспользовавшись тем, что число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3. Если $a$ не делится на 3, т. е. $a=3k\pm1$, то $a^2$ даёт при делении на 3 остаток 1, $a^3$ — либо 1, либо $-1$, а $a^6$ — только 1. В любом случае сумма первых двух остатков не равна третьему, поэтому из цифр чисел $a^2$ и $a^3$ нельзя составить число $a^6$.
Осталось перебрать «подозрительные» числа, кратные трём: 3, 6, 12.
