Задача М727‍‍

Если $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ — длины сторон треугольника периметра 2, то $a\lt1$‍,‍ $b\lt1$‍,‍ $c\lt1$‍‍ (в противном случае одна из сторон треугольника будет больше суммы двух других). Поэтому $(1-a)(1-b)(1-c)\gt0$‍.‍ Раскрывая скобки и преобразуя левую часть, получим $$ \begin{gathered} 1-(a+b+c)+ab+bc+ac-abc=\\ =-1+\dfrac{a^2+b^2+c^2}2+ab+bc+ac-\dfrac{a^2+b^2+c^2}2-abc=\\ =-1+\dfrac{(a+b+c)^2}2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}2-abc=\\ =1-\dfrac{a^2+b^2+c^2}2-abc\gt0, \end{gathered} $$ а это и значит, что $a^2+b^2+c^2\lt2(1-abc)$‍.‍