Ответ: $\dfrac29S$. Покажем, что данный треугольник можно разбить на 27 равновеликих треугольников, 6 из которых составляют рассматриваемый в задаче шестиугольник. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$, $P$, $Q$ — точки, делящие стороны треугольника $ABC$, как указано в условии (см. рисунок). Заметим, что отрезки $KM$ и $QN$, $QL$ и $PM$, $KP$ и $LN$ параллельны соответствующим медианам данного треугольника. Например, отрезок $KM$ параллелен медиане $AD$, потому что $\dfrac{|BK|}{|BA|}=\dfrac{|BM|}{|BD|}=\dfrac23$ и, следовательно, треугольники $BKM$ и $BAD$ гомотетичны. Проводя из точек деления остальные отрезки, параллельные медианам, а также сами медианы, мы получим нужное разбиение. В самом деле, шестиугольник разбивается на 6 конгруэнтных треугольников (на рисунке — голубые), ещё 12 треугольников (белые) конгруэнтны им, а остальные 9 (красные) им равновелики. (Скажем, площади треугольников $MEN$ и $MFE$ равны, потому что их стороны $EN$ и $EF$ конгруэнтны, а высоты, опущенные на эти стороны из вершины $M$, совпадают.) Таким образом, площадь шестиугольника равна $6\cdot\dfrac{S}{6+12+9}=\dfrac29S$.
Рисунок номер ...
