Легко видеть, что $f(1,0)=f(0,1)=2$. Применяя соотношение 3°, находим
$$
f(1,y)=f(0,f(1,y-1))=f(1,y-1)+1,
$$
откуда следует, что $$
f(1,y)=f(1,0)+y=y+2.
$$
Аналогично получаем, что $$
f(2,y)=2y+3.
$$
Посмотрим, чему равно $f(3,y)$. Имеем
$$\begin{gather*}
f(3,0)=f(2,1)=5;\\
f(3,y)=f(2,f(3,y-1))=2f(3,y-1)+3,
\end{gather*}$$
так что $$
f(3,1)=13,~f(3,2)=29,~f(3,3)=61,~f(3,4)=125,~\ldots
$$
Можно заметить, что $f(3,y)=2^{y+3}-3$ (докажите это, например, с помощью индукции).
Теперь мы можем выразить $f(4,y)$:
$$
f(4,y)=f(3,f(4,y-1))=2^{f(4,y-1)+3}-3,
$$
причём $f(4,0)=f(3,1)=2^4-3=13$.
Чтобы, как и выше, «угадать» формулу для $f(4,y)$, найдём $f(4,1)$ и $f(4,2)$. Имеем
$$
\begin{gather*}
f(4,1)=2^{f(4,0)+3}-3=2^{16}-3=2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2}}}-3;\\
f(4,2)=2^{f(4,1)+3}-3=2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2}}}}}-3.
\end{gather*}
$$
Теперь совсем легко доказать, что $$
\def\md#1{\mathllap{\raisebox{1em}{$\scriptstyle #1$}\hskip.5em}
\mathrlap{\hskip-1.35em\scriptstyle\htmlStyle{display:inline-block;transform:rotate(322deg);}{\overbrace{\hskip4.25em\vphantom{\hat0}}}}
{\scriptstyle\,\raisebox{.25em}{$\scriptstyle.$}\,\raisebox{.5em}{$\scriptstyle.$}\,\raisebox{.75em}{$\scriptstyle.\vphantom=$}\,}}
f(4,y)=2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\md{y+3~\text{«двоек»}}^{\scriptstyle2}}}}}-3,
$$
поэтому
$$
\def\md#1{\mathllap{\raisebox{1em}{$\scriptstyle #1$}\hskip.5em}
\mathrlap{\hskip-1.35em\scriptstyle\htmlStyle{display:inline-block;transform:rotate(322deg);}{\overbrace{\hskip4.25em\vphantom{\hat0}}}}
{\scriptstyle\,\raisebox{.25em}{$\scriptstyle.$}\,\raisebox{.5em}{$\scriptstyle.$}\,\raisebox{.75em}{$\scriptstyle.\vphantom=$}\,}}
f(4,1981)=2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\md{1984~\text{«двоек»}}^{\scriptstyle2}}}}}-3.
$$
