Любое натуральное $n$ при некотором $k$ удовлетворяет неравенствам $2^k\lt n\lt2^{k+1}$. Тогда
$2^k\lt n\lt3\cdot2^k\lt5\cdot2^k$.
Рассмотрим множество
$$
A=\{3\cdot2^k,~3\cdot2^k-1,~\ldots,~3\cdot2^k-n+1\}
$$
из $n$ последовательных натуральных чисел. Поскольку $n-1\ge2^k$, среди $n-1$ последовательных натуральных
чисел от $3\cdot2^k-n+1$ до $3\cdot2^k-1$ найдётся хотя бы одно, делящееся на $2^k$. При $n\ge4$ хотя бы одно из них делится на 3. Поэтому число $3\cdot2^k$ является делителем наименьшего общего кратного
остальных $n-1$ чисел множества $A$ для любого $n\ge4$.
При $n\ge6$ легко строится ещё одно множество, обладающее указанным свойством:
$$
B=\{5\cdot2^k,~5\cdot2^k-1,~\ldots,~5\cdot2^k-n+1\}
$$
(проверьте это!). Таким образом, при $n\ge6$ существует по крайней мере два множества $A$ и $B$, обладающих
указанным свойством. Остаётся рассмотреть случаи $n=3$, 4 и 5.
При $n=5$ также имеется два нужных множества: $\{2,3,4,5,6\}$ и $\{8,9,10,11,12\}$.
Докажем, что при $n=4$ существует единственное множество, обладающее указанным свойством. В самом деле,
пусть множество $\{m,m+1,m+2,m+3\}$ обладает нужным свойством. Поскольку число $m+3$ является делителем
$\text{НОК}(m,m+1,m+2)$, число $m(m+1)(m+2)$ делится на $m+3$. Но $m(m+1)(m+2)=(m+3)(m^2+2)-6$; значит, 6 должно делиться на $m+3$, откуда $m=3$, и мы получаем единственное множество из четырёх последовательных
натуральных чисел, обладающее указанным свойством: $\{3,4,5,6\}$.
Наконец, при $n=3$ таких множеств $\{m,m+1,m+2\}$ нет: $\text{НОК}(m,m+1)=m(m+1)$ ($m$ и $m+1$ взаимно
просты), но $m(m+1)$ не делится на $m+2$, поскольку $(m-1)(m+2)\lt m(m+1)\lt m(m+2)$.
