Задача М712 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1981, № 11) Задача М712 // Квант. — 1981. — № 11. — Стр. 21; 1982. — № 7. — Стр. 43.

Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.

Э. Туркевич

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1982, № 7) Задача М712 // Квант. — 1981. — № 11. — Стр. 21; 1982. — № 7. — Стр. 43.

$ \colsep{0pt}{\begin{array}{rccccccccccl} \pi={}&3&{,}&1&4&1&5&9&2&6&5&{}\ldots{:}\\[6pt] &1&{,}&1&1&1&1&1&1&1&1&{}\ldots{}\\ &1&{,}&0&1&0&1&1&1&1&1&{}\ldots{}\\ &1&{,}&0&1&0&1&1&0&1&1&{}\ldots{}\\ &0&{,}&0&1&0&1&1&0&1&1&{}\ldots{}\\ &0&{,}&0&0&0&1&1&0&1&1&{}\ldots{}\\ &0&{,}&0&0&0&0&1&0&1&0&{}\ldots{}\\ &0&{,}&0&0&0&0&1&0&0&0&{}\ldots{}\\ &0&{,}&0&0&0&0&1&0&0&0&{}\ldots{}\\ &0&{,}&0&0&0&0&1&0&0&0&{}\ldots{}\\\hline &3&{,}&1&4&1&5&9&2&6&5&{}\ldots{} \end{array}}$‍‍

Заметим, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, содержащих в своей десятичной записи только цифры 0 и 1 (на полях в таком виде представлено число $\pi=3{,}14159265\ldots$‍).‍ Пусть теперь $a\gt0$‍‍ — данное число. Представляя $\dfrac{a}{7}$‍‍ в виде суммы девяти чисел, содержащих в своей десятичной записи только цифры 0 и 1, и учитывая, что $a=7\cdot\left(\dfrac a7\right)$‍,‍ получим нужное представление числа $a$‍.‍

Задача М712 очевидным образом обобщается: любое положительное число можно представить в виде суммы $q-1$‍‍ чисел, $q$‍‍-ичная запись которых содержит только цифры 0 и $k$‍‍ ($k\lt q$‍).‍

Э. Туркевич

Открыть в номере

Метаданные Задача М712 // Квант. — 1981. — № 11. — Стр. 21; 1982. — № 7. — Стр. 43.

Предмет

Математика

Условие

Туркевич Э.

Решение

Туркевич Э.

Номера

1981. — № 11. — Стр. 21 [условие]

1982. — № 7. — Стр. 43 [решение]

Описание

Задача М712 // Квант. — 1981. — № 11. — Стр. 21; 1982. — № 7. — Стр. 43.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m712/