Если в одном из кружков занимается весь класс, то всё доказано. Пусть ни в одном из кружков весь класс целиком не занимается. Рассмотрим один из кружков (назовём его кружком № 1) и одного из учеников, занятого в этом кружке (назовём его учеником $A$). Поскольку в кружке № 1 весь класс целиком не занят, найдётся ученик $B$, не занимающийся в этом кружке. По условию задачи существует кружок № 2, где занимаются вместе ученики $A$ и $B$. Поскольку и этот кружок не охватывает весь класс, существует ученик $C$, который в него не входит. Но ученик $A$ занимается только в кружках № 1 и № 2, поэтому ученик $C$ занимается вместе с учеником $A$ в кружке № 1. Тогда должен существовать кружок № 3, где занимаются вместе ученики $B$ и $C$. Рассмотрим любого другого ученика $D$ (если в классе есть ещё ученики, кроме учеников $A$, $B$ и $C$). Если бы ученик $D$ не занимался ни в кружке № 1, ни в кружке № 2, то для него не нашлось бы общего кружка с учеником $A$. Если бы $D$ не занимался в кружках № 1 и № 3, то он не занимался бы вместе с учеником $C$. Наконец, если бы $D$ не занимался в кружках № 2 и № 3, то у него не было бы общего кружка с учеником $B$. Таким образом, каждый ученик класса должен быть занят в двух из трёх рассмотренных кружков. Обозначив через $y_1$, $y_2$ и $y_3$ число учеников в кружках № 1, № 2 и № 3 соответственно, получим $y_1+y_2+y_3=2y$, где $y$ — число всех учеников в классе. Ясно, что хотя бы одно из чисел $y_1$, $y_2$, $y_3$ должно быть не меньше $\dfrac13\cdot2y$.
