Задача М704‍‍‍

Пусть вокруг чёрного квадрата (см. рис. 1) описан голубой параллелограмм $ABCD$‍‍ и через все его вершины проведены красные прямые, перпендикулярные сторонам квадрата. Достаточно доказать, что при повороте на $90^\circ$‍‍ вокруг центра $O$‍‍ чёрного квадрата красные прямые переходят друг в друга.

Пусть $H=R^{90^\circ}_O(A)$‍.‍ Поскольку стороны повёрнутого параллелограмма перпендикулярны сторонам исходного, $(HE)\perp(AB)$‍‍ и $(HF)\perp(BC)$‍.‍ Поэтому $H$‍‍ — точка пересечения высот треугольника $EBF$‍‍ и, следовательно, $H$‍‍ лежит на красной прямой, проведённой через вершину $B$‍.‍ Таким образом, красная прямая, проведённая через точку $A$‍,‍ переходит при повороте $R^{90^\circ}_O$‍‍ в красную прямую, проведённую через точку $B$‍.‍ Отсюда немедленно следует утверждение задачи.

Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке (мы надеемся, известная нашим читателям), не доказывается в школьном учебнике. Поэтому мы приведём ещё одно решение задачи, хотя и не столь изящное, но тоже простое.

Это решение годится и для более общего случая, когда роль квадрата играет чёрный параллелограмм (рис. 2): мы докажем, что красные прямые (соответственно параллельные сторонам чёрного параллелограмма) образуют параллелограмм, гомотетичный чёрному параллелограмму.

Для доказательства достаточно проверить, что красная точка $K$‍‍ (см. рис. 3 — фрагмент рис. 2) лежит на диагонали параллелограмма $EG$‍.‍ Из подобия заштрихованных треугольников следует, что $\dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{v}$‍‍ и $\dfrac{a}{y}=\dfrac{u}{b}$‍‍ (обозначения см. на рис. 3). Перемножив эти равенства, получим $\dfrac{x}{y}=\dfrac{u}{v}$‍,‍ а это и значит, что точка $K$‍‍ лежит на $EG$‍.‍

Полученный результат напоминает теорему Паппа, которую Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен в своей замечательной (переизданной недавно по-русски) книге «Наглядная геометрия» формулируют так (с. 126‍—‍127): если вершины замкнутой шестизвенной ломаной лежат попеременно на двух прямых и две пары её противоположных звеньев параллельны, то и третья пара звеньев параллельна (на рис. 3 — как раз такая ломаная $AKBEFGA$‍).‍

На этом возможности обобщений не исчерпаны. Если «сфотографировать» конфигурацию рисунка 3 (т. е. спроектировать её из некоторой точки $S$‍,‍ не лежащей в плоскости рисунка, на непараллельную плоскость), мы получим конфигурацию Паскаля: три пары параллельных на рисунке 3 прямых будут пересекаться на «фотографии» в трёх точках одной прямой — нам удобно обозначить их $A_1$‍,‍ $F_1$‍,‍ $B_1$‍‍ (рис. 4) — и наша теорема о точках $E$‍,‍ $K$‍,‍ $G$‍‍ превратиться в такую теорему: если каждая тройка точек $A$‍,‍ $B$‍,‍ $F$‍‍ и $A_1$‍,‍ $B_1$‍,‍ $F_1$‍‍ лежит на прямой, то точки $(AB_1)\cap(A_1B)$‍,‍ $(BF_1)\cap(B_1F)$‍‍ и $(AF_1)\cap(A_1F)$‍‍ также лежат на прямой.