Решение. Поскольку
$$
\dfrac x{3(1+x^2)}=\dfrac y{4(1+y^2)}=\dfrac z{5(1+z^2)},\tag1
$$
числа $x$, $y$ и $z$ имеют одинаковые знаки, причём если $(x,y,z)$ — решение системы, то и $(-x,-y,-z)$ — её решение, так что можно разыскивать лишь положительные решения.
Формула $\sin2\phi=\dfrac{2\tg\phi}{1+\tg^2\phi}$ наводит на мысль ввести углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ из промежутка $(0;\pi)$ такие, что $\tg\dfrac\alpha2=x$, $\tg\dfrac\beta2=y$, $\tg\dfrac\gamma2=z$. Тогда (1) превратится в уравнения
$$
\dfrac{\sin\alpha}3=\dfrac{\sin\beta}4=\dfrac{\sin\gamma}5.\tag2
$$
Из второго уравнения системы получаем $\dfrac1z=\dfrac{x+y}{1-xy}$ (ясно, что $xy\ne1$, $z\ne0$), что в новых обозначениях имеет вид $$
\ctg\dfrac\gamma2=\tg\dfrac{\alpha+\beta}2,
$$
или $$
\tg\left(\dfrac\pi2-\dfrac\gamma2\right)=\tg\dfrac{\alpha+\beta}2.
$$
Последнее равенство при выбранных ограничениях на $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ возможно тогда и только тогда, когда $\dfrac\pi2-\dfrac\gamma2=\dfrac{\alpha+\beta}2$, т. е. $\alpha+\beta+\gamma=\pi$.
Итак, мы получили, что $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, длины сторон которого относятся как $3:4:5$ (см. (2)). Это — прямоугольный треугольник, у которого $\gamma=\dfrac\pi2$, $\sin\alpha=\dfrac35$, $\sin\beta=\dfrac45$ (см. рисунок), т. е. $\tg\dfrac\alpha2=\dfrac13$, $\tg\dfrac\beta2=\dfrac12$, $\tg\dfrac\gamma2=1$.
Некоторые читатели решали эту систему чисто алгебраически, но такие решения значительно длиннее приведённого.
