Задача М7‍‍

Эта задача имеет довольно много решений. Мы приведём одно из самых коротких. Нам понадобится лишь хорошо известное из школьного курса неравенство: $$ \dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}\geq2,\tag{1} $$ где $m\gt0$‍,‍ $n\gt0$‍.‍ Введём такие обозначения: $$ b+c-a=x,\quad c+a-b=y,\quad a+b-c=z.\tag{2} $$ Заметим, что $$ x\gt0,\quad y\gt0,\quad z\gt0;\tag{3} $$ это следует из того, что $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — стороны треугольника, а каждая сторона его меньше суммы двух других.

Из (2) следует, что $$ a=\dfrac{y+z}{2},\quad b=\dfrac{x+z}{2},\quad c=\dfrac{x+y}{2}; $$ поэтому исходное неравенство можно переписать так: $$ \dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}\geq3.\tag{4} $$ Преобразуя левую часть (4) и используя (1) и (3), получим: $$ \dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}= \dfrac{1}{2}\left[ \left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)+ \left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)+ \left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right) \right]\geq\dfrac{1}{2}(2+2+2)=3, $$ что и требовалось доказать.

Заметим, что аналогично можно доказать и более общее неравенство: $$ \begin{gather*} \dfrac{x_1}{x_2+x_3+\ldots+x_n-x_1}+\dfrac{x_2}{x_3+x_4+\ldots+x_n-x_2}+\ldots\\ \ldots+\dfrac{x_{n-1}}{x_n+x_1+x_2+\ldots+x_{n-2}-x_{n-1}}+\dfrac{x_n}{x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}-x_n}\geq\dfrac{n}{n-2}, \end{gather*} $$ где все знаменатели положительны.

В заключение отметим, что из доказанного неравенства непосредственно следует один геометрический факт. Пусть $R$‍‍ — радиус описанной около треугольника, а $r$‍‍ — радиус вписанной в него окружности. Хорошо известно, что $$ R=\dfrac{abc}{4S},\quad r=\dfrac{S}{p},\quad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\tag{5} $$ где $S$‍‍ — площадь треугольника, а $p$‍‍ — его полупериметр. Из (2) следует, что $$ p-a=\dfrac{x}{2},\quad p-b=\dfrac{y}{2},\quad p-c=\dfrac{z}{2}.\tag{6} $$ Теперь, используя (5) и (6), получим $$ \begin{gather*} \dfrac{R}{2r}=\dfrac{abcp}{8S^2}=\dfrac{abcp}{8p(p-a)(p-b)(p-c)}=\dfrac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}=\\ =\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8xyz}=\dfrac{1}{4}\left[1+\left(\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}\right)\right]. \end{gather*} $$ Заметим, что в круглых скобках правой части последнего равенства стоит левая часть неравенства (4), воспользовавшись им, получим $$ \dfrac{R}{2r} \geq 1,\quad\text{т. е.}\quad R \geq 2r. $$

Итак, радиус описанного около треугольника круга не меньше диаметра вписанного в него круга. Попробуйте доказать это чисто геометрически (что значительно труднее).