На сторонах $a$, $b$, $c$, $d$ вписанного в окружность четырёхугольника «наружу» построены прямоугольники размерами $a\times c$, $b\times d$, $c\times a$, $d\times b$. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами
а) Пусть $M$, $P$, $N$, $Q$ — центры прямоугольников, построенных на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ (см. рисунок). Поскольку в четырёхугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны $180^\circ$, а прямоугольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то $\widehat{MBP}=\widehat{NDQ}$ и $\widehat{NCP}=\widehat{MAQ}$ (мы рассматриваем углы, меньшие $180^\circ$). Таким образом, $\triangle MBP\cong\triangle NDC$ и $\triangle NCP\cong\triangle MAQ$. Отсюда $|MP|=|NQ|$ и $|NP|=|MQ|$, а это означает, что четырёхугольник $MPNQ$ — параллелограмм.
б) Можно считать, что сторона $MQ$ параллелограмма видна из точки $A$ изнутри параллелограмма, сторона $PN$ видна из точки $C$ снаружи и, аналогично, сторона $MP$ видна из точки $B$ изнутри, а сторона $NQ$ из точки $D$ видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке.
Докажем, что $\widehat{MPN}+\widehat{NQM}=180^\circ$ (отсюда будет следовать, что $\widehat{MPN}=\widehat{NQM}=90^\circ$). Эта сумма, очевидно, равна $\widehat{BPC}+\widehat{DQA}=180^\circ$, поскольку $\widehat{BPM}=\widehat{DQN}$, а $\widehat{CPN}=\widehat{AQM}$.
