Задача М694‍‍

Раскрасим вершины куба в синий и красный цвет таким образом, чтобы концы каждого ребра оказались окрашенными в разные цвета (рис. 4). При добавлении единицы к числам, размещённым на одном ребре, суммы чисел в синих и красных вершинах увеличиваются на 1, так что разность этих двух сумм не изменяется. Так как в кубах на рисунках 1 и 3 эта разность не равна нулю, от них нельзя прийти к кубу с равными числами в вершинах. Покажем теперь, что если в вершинах исходного куба записаны целые числа и суммы чисел в красных и синих вершинах равны, то все восемь чисел можно сделать равными между собой.

Обозначим через $d$‍‍ разность между наибольшим и наименьшим из чисел, записанных в вершинах куба, а через $n$‍‍ — количество чисел, равных наименьшему. (Для куба на рисунке 1 $d=1$‍,‍ $n=7$‍,‍ на рисунке 2 — $d=6$‍,‍ $n=1$‍,‍ на рисунке 3 — $d=1$‍,‍ $n=6$‍.)‍ Пусть наименьшее (или одно из наименьших) число, расположено в вершине $A_1$‍‍ (см. рис. 4). Если какое-нибудь из соседних чисел, скажем число, записанное в вершине $B_1$‍,‍ не является наибольшим в рассматриваемом кубе, то, прибавляя по единице к числам, размещённым на ребре $A_1B_1$‍,‍ мы уменьшим либо $d$‍,‍ либо $n$‍‍ (либо и $d$‍,‍ и $n$‍).‍ Продолжая подобным образом, мы придём либо к кубу, у которого $d=0$‍,‍ то есть все восемь чисел равны между собой, либо к кубу, в котором каждое число, соседнее с наименьшим, является наибольшим. Если в вершине $A_1$‍‍ такого куба расположено одно из наименьших чисел, равное $a$‍,‍ то в вершинах $B_1$‍,‍ $D_1$‍‍ и $A_2$‍‍ записано число $a+d$‍‍ (здесь $d$‍‍ — разность между наибольшим и наименьшим числами в новом кубе). Так как сумма чисел в красных вершинах равна сумме чисел в синих вершинах, в четвёртой красной вершине $C_2$‍‍ записано число $a$‍,‍ а в синих вершинах $C_1$‍,‍ $B_2$‍‍ и $D_2$‍‍ — число $a+d$‍.‍ Прибавив по $d$‍‍ единиц к концам ребра $A_1B_1$‍,‍ затем к концам ребра $C_1C_2$‍,‍ ребра $A_1D_1$‍,‍ ребра $C_2D_2$‍‍ и, наконец, ребра $A_2B_2$‍,‍ мы придём к кубу, все восемь чисел которого равны $a+2d$‍.‍ Для куба на рисунке 2 этапы решения изображены на рисунке 5.